Математика исламского Средневековья (также Исламская математика или Арабская математика) — это математика периода, когда учёные исламского мира внесли существенный вклад в её развитие. Он начинается между 622 и 750 годами, достигает своего расцвета в Золотой век ислама и завершается в промежутке между 1450 и 1630 годами. В этот период арабский язык длительное время оставался международным языком науки, опередив по масштабам любой другой язык предшествовавших эпох. Соответственно, большинство научных трудов исламских математиков создавалось именно на арабском. С XI века появляются научные труды и на персидском языке, а первый математический трактат на турецком языке в Османской империи датируется 1438 годом.
Ряд интересных задач, стимулировавших развитие математики, были поставлены перед учёными и самой исламской религией. Это задачи о расчёте лунного календаря, об определении точного времени для совершения намаза, об определении киблы, о распределении наследства согласно исламскому праву и о расчёте закята.
Именно в исламском мире оформились такие дисциплины, как алгебра, тригонометрия и криптология. Аль-Хорезми создал систематическое учение об уравнениях и положил начало алгебре как самостоятельной науке, а его последователи расширили методы на иррациональные числа, многочлены и кубические уравнения. Исламские математики шаг за шагом превращали тригонометрию из вспомогательного инструмента астрономии в самостоятельную дисциплину. Они ввели многие тригонометрические функции, а также доказали фундаментальные теоремы сферической тригонометрии. Завершающим этапом этого процесса стало творчество Насир ад-Дина ат-Туси, который систематизировал и обобщил накопленные достижения, оформив тригонометрию как отдельную науку. Параллельно возникла криптология — аль-Кинди впервые применил частотный анализ для взлома шифров, а аль-Калкашанди позднее систематизировал методы шифрования и дешифровки, фактически создав фундамент этой науки.
Другие направления математики также получили серьёзное развитие. В теории чисел из теории уравнений в рациональных числах выделилась теория диофантовых уравнений в целых числах, появилась первая теория дружественных чисел, углубились теории совершенных и фигурных чисел, были даны первые формулировки основной теоремы арифметики и теоремы Вильсона. Аль-Караджи первым изложил доказательства неявной математической индукцией, а Ибн аль-Хайсам фактически применял интегрирование многочленов для вычисления объемов, предвосхитив идеи математического анализа. В исламском мире берут своё начало десятичные дробные числа; само понятие «числа» из множества натуральных чисел было расширено до множества вещественных чисел; появилось первое систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе.
Множество математических терминов имеют арабское происхождение. К ним относятся алгебра, алгоритм, цифра, шифр, английское zero, немецкое Ziffer, французское chiffre и другие.
Исторический очерк Предыстория
Началом исламского летоисчисления считается переселение мусульманской общины из Мекки в Медину в 622 году. В последующие десятилетия ислам утвердился на всём Аравийском полуострове и под властью халифов стремительно распространился на обширные территории — Сирию, Месопотамию, Египет, Северную Африку, Испанию, Сицилию, Центральную Азию и часть Индии. В новом государстве постепенно сформировалась исламская культура, а арабский стал языком религии, науки и межнационального общения. Столицей халифата при династии Омейядов был Дамаск, при Аббасидах — Багдад, ставший важным центром науки, ремёсел и торговли. Халифат сыграл значительную роль в повышении производительности сельского хозяйства, развитии архитектуры и расширении культурных связей между Востоком и другими регионами мира.
Переводческое движение
Формирование исламской математической традиции было тесно связано с масштабным переводческим движением античных текстов на арабский язык. Этот процесс начался в VIII веке и достиг расцвета при Аббасидском халифате, когда в Багдаде при поддержке халифов создавались библиотеки, обсерватории и научные центры, важнейшим из которых стал «Дом мудрости». Здесь работали не только отдельные учёные, но и целые группы исследователей и переводчиков, которые иногда даже соревновались друг с другом.
Уже в конце VIII века Ибрахимом аль-Фазари на арабский с санскрита была переведена «» Брахмагупты. Из индийской математики в исламский мир пришли арабские цифры и число ноль. В IX веке были переведены фундаментальные произведения античных математиков. Аль-Хаджжадж первым перевёл «Начала» Евклида, ему же принадлежит один из самых ранних сохранившихся переводов «Альмагеста» Аристотеля. Всего за несколько десятилетий «Начала» были переведены трижды, «Альмагест» — дважды. К концу века на арабский язык были переведены «Конические сечения» Аполлония, трактаты Архимеда, семь книг «Арифметики» Диофанта, а также труды Герона и Паппа Александрийских.
Цель переводов заключалась в создании базы для обучения и дальнейших исследований. Выбор текстов определялся актуальными задачами: перевод трактатов Архимеда предназначался для улучшения методов измерения площадей и объёмов, а перевод «Арифметики» Диофанта пришёлся на период интенсивных исследований в области алгебры. Нередко переводы становились отправной точкой для создания новых теорий. Так, Сабит ибн Курра, занимавшийся переводом «Введения в арифметику» Никомаха из Герасы, разработал первую теорию дружественных чисел, поскольку у Никомаха эта тема не имела какого-либо строгого обоснования.
Размах переводческой деятельности впечатляет — список арабских комментаторов одного только Евклида достигает более пятидесяти геометров и алгебраистов. Часть авторов ограничивалась разъяснением трудов предшественников и составлением учебников на их основе, другие подвергали работы Евклида и других учёных критическому анализу и переосмыслению. Таким образом, комментарии к античным трудам были не только пояснениями, но и оригинальными работами по математике, которые способствовали развитию математических знаний. В дальнейшем мусульмане познакомят с древнегреческими трудами, такими как «Начала» Евклида, не только Западную Европу, но и Индию и Китай.
Некоторые античные труды, такие как «Сферика» Менелая, «О делении» Евклида, книги V–VII «Конических сечений» Аполлония и книги IV–VII «Арифметики» Диофанта, утрачены на языке оригинала и сохранились лишь благодаря переводам на арабский язык. До сих пор в арабских источниках находят новые следы утерянных греческих математических трудов.
Поворотный момент — появление алгебры
Работа Мухаммада аль-Хорезми, выполненная между 813 и 833 годами в Багдаде, стала поворотным моментом в развитии математики. В заглавии своей книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» он ввёл термин «алгебра», обозначив её как отдельную дисциплину. В отличие от предыдущих арифметических традиций, его работа заложила основы систематического изучения уравнений, используя абстрактные алгебраические термины. Это стало значительным отходом от греческой математики, ориентированной на геометрию, и позволило рассматривать числа и геометрические величины как единые алгебраические объекты. Новая концепция открыла дорогу дальнейшему развитию математики и её применению в различных сферах. Его наследие закрепило за ним почётное звание «отца алгебры».
Преемники аль-Хорезми начали систематическое применение арифметики к алгебре, алгебры к арифметике, обеих — к тригонометрии, алгебры — к евклидовой теории чисел, алгебры — к геометрии и геометрии — к алгебре. Эти приложения открывали путь к формированию новых дисциплин и разделов математики. Так возникли алгебра многочленов, комбинаторика, современная элементарная теория чисел, геометрические и численные методы решения уравнений, к этому же относится и превращение теории диофантовых уравнений в целых числах в самостоятельный раздел, отделившийся от теории уравнений в рациональных числах.
В дальнейшем труды аль-Хорезми были переведены на латинский и до XVI века использовались в европейских университетах как основные учебники по математике.
История развития научных центров Арабский халифат
Аль-Хорезми также много лет возглавлял «Дом мудрости» в Багдаде, ставший с начала IX века научным центром халифата, в который халифами приглашались виднейшие учёные со всего исламского мира. В IX—X веках большинство багдадских учёных были выходцами из Средней Азии или сабиями — одной из защищённых по Корану религиозных групп. К X веку ряд провинций халифата, сохраняя номинальную власть багдадского халифа, обретают фактическую независимость. В это время на востоке возникают новые научные центры: в Бухаре, где обучался Ибн Сина; в Гургандже, где он работал совместно с аль-Бируни в Академии Мамуна; в Газне, где также работал аль-Бируни; в Каире, где работали Абу Камил и Ибн аль-Хайсам. После сельджукских завоеваний в XI веке научными центрами становятся Исфахан и Мерв, где работает Омар Хайям. В это же время появляются и распространяются высшие учебные заведения нового типа — медресе, в которых первоначально преподаются исключительно религиозные дисциплины, однако со временем в учебные программы добавляются математика и другие предметы.
На западе исламского мира, в андалусских городах Кордове, Севилье, Малаге и Гранаде, сформировались свои научные центры — в них действовали университеты, где преподавались математика и другие дисциплины. Библиотека Кордовы насчитывала более полумиллиона арабских рукописей. После захвата Толедо христианами в 1085 году, в XII веке начинаются масштабные переводы арабских трудов на латынь. К 1091 году норманны завоёвывают Сицилийский эмират, который также становится важным центром передачи знаний в Европу. На латинский и иврит переводятся сотни книг и рукописей, включая труды аль-Хорезми, аль-Кинди, аль-Фараби, Сабита ибн Курры и других. Завоевания исламских земель были не единственным путём передачи знаний в Европу. В конце XII века итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) обучался у мусульманских учителей в Алжире и посетил многие исламские страны. Опираясь на алгебраические методы и практические примеры аль-Хорезми, Абу Камиля, Ахмеда ибн Юсуфа, аль-Караджи и Ибн аль-Хайсама, Фибоначчи создал революционные для Европы труды по математике.
В XIII веке после уничтожения монголами Бухары, Гурганджа, Исфахана и Мерва, разграбления Газни, а также уничтожения Багдада в ходе Жёлтого крестового похода (1256—1260), и захвата испанцами Кордовы и Севильи в ходе Иберийских крестовых походов (1212—1266) мусульмане теряют свои крупнейшие научные центры и библиотеки, что отождествляется некоторыми историками с концом Золотого века ислама. Стивен Датч пишет, что Багдад был одним из самых блестящих интеллектуальных центров мира, а его разграбление положило конец интеллектуальному расцвету исламской цивилизации: «Представьте себе Афины Перикла и Аристотеля, уничтоженные ядерным оружием, и вы поймёте всю чудовищность удара. Монголы засыпали оросительные каналы и оставили Ирак слишком безлюдным, чтобы их можно было восстановить». Два миллиона мусульман были убиты, «Дом Мудрости» уничтожен, а река Тигр стала «чёрной от смытых с рукописей чернил» и «красной от крови учёных и философов».
После монгольского нашествия
Уничтожение научных и образовательных центров на востоке привело к утрате огромного количества ценных знаний и подрыву экономики, что нанесло серьёзный удар по развитию математики в исламском мире. А потеря мусульманами аль-Андалуса была фатальной для дальнейшего развития математики на западе, где последним математиком с оригинальными работами стал Ибн аль-Банна (1256—1321). Огромные потери рукописей, по-видимому, способствовали распространению жанра энциклопедий — попытке сохранить уцелевшие знания. Однако создание энциклопедий и кратких изложений помогало лишь сохранять достигнутое и мало способствовало дальнейшему развитию науки.