Вероятно простое число — это число, которое проходит тест простоты. Сильное вероятно простое число — это число, которое проходит сильную версию теста простоты. Сильное псевдопростое число — это составное число, которое проходит сильную версию теста простоты.

Все простые числа проходят этот тест, но небольшая доля составных чисел также этот тест проходит, что делает их «ложно простыми».

В отличие от псевдопростых чисел Ферма, для которых существуют числа, псевдопростые по всем взаимно простым основаниям (числа Кармайкла), не существует составных чисел, сильных псевдопростых по всем основаниям.

Формальное определение Формально, нечётное составное число n = d • 2s + 1 с нечётным d называется сильным псевдопростым числом (Ферма) по основанию a, если выполняется одно из условий:

или для некоторого

(Если число n удовлетворяет вышеприведённым условиям и мы не знаем, простое оно или нет, более точно называть его сильным вероятно простым по основанию a. Если же мы знаем, что n не простое, можно употреблять термин сильное псевдопростое число.)

Определение тривиально выполняется, если , так что эти тривиальные случаи часто исключаются.

Ричард Гай ошибочно дал определение только с первым условием, но ему удовлетворяют не все простые числа.

Свойства сильных псевдопростых чисел Сильное псевдопростое число по основанию a всегда является , и псевдопростым Ферма по этому основанию, но не все псевдопростые Эйлера и Ферма являются сильными псевдопростыми. Числа Кармайкла могут быть сильными псевдопростыми по некоторым основаниям, например, 561 является сильными псевдопростым по основанию 50, но не по всем базисам.

Составное число n является сильным псевдопростым максимум четверти всех оснований, меньших n . Таким образом, нет «сильных чисел Кармайкла», чисел, которые являются сильными псевдопростыми для всех оснований. Следовательно, если задано случайное основание, вероятность, что число будет сильным псевдопростым по этому основанию, не превосходит 1/4, что используется в широко распространённом тесте Миллера — Рабина. Тем не менее, Арно привёл 397-значное составное число, являющееся сильным псевдопростым по любому основанию, меньшему 307. Один из способов уберечься от объявления таких чисел вероятно простыми заключается в комбинации теста на сильное возможно простое число с тестом на псевдопростое число Люка, как в тесте Бейли — Померанца — Селфриджа — Уогстаффа.

Существует бесконечно много сильных псевдопростых по любому конкретному основанию.

Примеры Первые сильные псевдопростые по основанию 2 2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ... (). По основанию 3 121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ... (). По основанию 5 781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, ... ().

По основанию 4 см. , а по основаниям от 6 до 100 см. последовательности от до .

Если проверять вышеприведённые условия по нескольким основаниям, получается более мощный тест на простоту, чем при использовании теста по одному основанию. Например, существует только 13 чисел меньших , являющихся сильными псевдопростыми по основаниям 2, 3 и 5 одновременно. Они перечислены в таблице 7 в статье Померанса и Селфриджа. Наименьшее такое число — 25326001. Это означает, что при n меньшем 25326001, если n является сильным возможно простым число по основаниям 2, 3 и 5, число n является простым.

Число 3825123056546413051 является наименьшим числом, одновременно являющимся сильным псевдопростым по 9 основаниям 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23 . Так что при n меньшем 3825123056546413051, если n является сильным вероятно простым по этим 9 основаниям, то n является простым.

При осторожном выборе основания, не являющегося простым, можно построить даже лучшие тесты. Например, не существует составных чисел , сильных псевдопростых по всем семи основаниям 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 и 1795265022.

Наименьшее сильное псевдопростое по основанию n

nНаименьшееn Наименьшее n Наименьшееn Наименьшее1933545653397492204734336665989312135967339925434136356825100957813796935101256217383970691021337253913371910351894039728510415991412173910545110942451741510615111334321759110791291449761510891138545481773910991415469787711011115168747657939111551615484980911265179492581911135718255049829114115199512583211155720215251848511692122153985211174922215455868511892316955987247119152425565588871209125217572589912115269585790911226527121591591912385289604819291124252915611593251259304962994931262531156352995189112793225649969512849

Примечания

Литература

Категория:Псевдопростые числа