Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным .

Рефлексивные банаховы пространства

Пусть  — банахово пространство над полем комплексных чисел…или над полем вещественных чисел с аналогичным определением., а  — пространство, сопряженное к , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов с нормой

.

Второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . При фиксированном отображение является линейным непрерывным функционалом на , то есть элементом пространства . Поэтому определено отображение , , , . Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения , то есть условие .

Примеры Пространства и , , рефлексивны, Пространства , не рефлексивны.

Свойства Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно. Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен. Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например . Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства обозначим через пространство линейных непрерывных функционалов на , наделенное сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в . Пространство называется сопряженным пространством к пространству . Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . Формула , , определяет естественное отображение пространства во второе сопряженное пространство .

Если отображение является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

В частном случае, когда пространство банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства. Пространство гладких функций на гладком многообразии рефлексивно. Пространство голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства . По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в в определении сопряженного пространства другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными, и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература

Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982; Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.

Примечания

Категория:Функциональный анализ Категория:Теории двойственности Категория:Топологические векторные пространства Категория:Теория операторов