Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ), определяется через функцию ошибок:
.
Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:
.
Свойства Функция ошибок нечётна:
Для любого комплексного выполняется
где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует .
Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как: При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой. Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой и стандартным отклонением :
Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:
Обратная функция ошибок представляет собой ряд
где = 1 и
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — и в OEIS; последовательность числителей до сокращения — в OEIS.
Применение Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на , равна .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
где
Аппроксимации Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10−7, реализована в — §6.2.:
где при , и при . При эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции при малых x.
Аппроксимация функции ошибок даётся формулой
где . Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит , а обратная к ней функция выражается аналитически:
Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений .
Родственные функции С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой
Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются: — прямая линия, проходящая через начало координат: — функция ошибок .
После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про с чётными . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .
На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Повторные интегралы дополнительной функции ошибок Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как, p 484 , для .
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
и
Реализации В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».
В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой Apache Software Foundation.
Системы компьютерной алгебры Maple, Matlab, Mathematica и Maxima содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy.
В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля mathЯзык Erlang. Описание функций стандартного модуля math..
В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН
См. также Функция Гаусса Функция Доусона Гауссов интеграл
Примечания
Литература
Ссылки
MathWorld — Erf Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков) Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf
Категория:Специальные функции