Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.
Определение
Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере в трёхмерном пространстве:
, где * обозначает комплексное сопряжение, — символ Кронекера.
Сферические функции имеют вид , где функции являются решениями уравнения
и имеют вид
Здесь — присоединённые многочлены Лежандра, а — факториал.
Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным здесь вводятся как
Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.
Вещественная форма
Для сферических функций форма зависимости от угла — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля от угла .
Обратное преобразование:
Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальнымиТихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики . Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.
Повороты
Рассмотрим поворот системы координат , на Углы Эйлера который преобрaзует единичный вектор в вектор . При этом углы вектора в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом
В новой системе координат сферическая функция с индексами и будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером и различными . Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы ВигнераM. A. Morrison, G. A. Parker. A guide to rotations in quantum mechanics . — Australian Journal of Physics, Vol. 40, pp. 465, 1987
Сферические функции с номером образуют базис неприводимого представления размерности группы вращений SO(3).
Разложение плоской волны по сферическим функциям Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям
Здесь — сферическая функция Бесселя Разложение произведений сферических функций
Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.:
См. также Список сферических функций
Примечания
Литература — математические дополнения Пальцев Б.В. Сферические функции // Методич. матер. каф. ВМ МФТИ.
Приложения SHTOOLS: Fortran 95 software archive HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive SpherePack: Fortran 77 software archive SpharmonicKit: C software archive Frederik J Simons: Matlab software archive NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes) Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer
Ссылки Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert) Spherical harmonics entry at Citizendium
Категория:Специальные функции Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Гармонический анализ