Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».
Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто.
Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.
История Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.
Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 годуР. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.. Однако пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных.
Формулировка Любая замкнутая кривая Жордана на плоскости разбивает её на две компоненты и является их общей границей.
Замечания Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой , а неограниченная — внешней.
Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой равен или , совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен , совпадает с внешней часть.
Согласно теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой гомеоморфна кругу.
О доказательствах Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана. Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил . Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано ДойлемP. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291..
Вариации и обобщения Теорема Жордана обобщается по размерности: Любое -мерное подмногообразие в , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. При это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра. Более того, любое компактное связное -мерное подмногообразие в разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера. Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность. В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска. Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.
См. также Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана. Дикий узел
Примечания
Литература Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — : изд-во МЦНМО, 2003. Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176. Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893. Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933. Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., : 1964.
Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.
Категория:Топология Жордана