Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.
Математическая формулировкаХаос динамический в Физической энциклопедии отображения
где: принимает значения от 0 до 1 и отражает отношение значения популяции в -ом году к максимально возможному, а обозначает начальную численность (в год номер 0); — положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.
Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула:
Это нелинейное отображение описывает два эффекта: с одной стороны, когда численность популяции мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности; с другой стороны, поскольку популяция обитает в среде с ограниченной «ёмкостью», то при росте плотности популяции скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность.
Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.
Зависимость поведения от параметра r При изменении значения параметра , в системе наблюдается следующее поведение «Java-демонстрация бифуркаций квадратичного отображения » at homepage of Dr Evgeny Demidov.. Если больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий. Если больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение , независимо от начальных условий. Если больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же придёт к тому же стационарному значению , но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения =3, при котором она крайне мала, меньше линейной. Если больше 3 и меньше (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями. Если больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями. При значении больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения . Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода. При значении приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения. Большинство значений, превышающих 3.57, демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений , при которых система ведёт себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения (приблизительно 3.83), существует интервал параметров , при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений — между 6, потом 12 и т. д. фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского. При > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.
Итог вышеперечисленного приведён на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра , а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения .
Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении = 3.82 в одном из трёх ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искажённая и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.
Программа для построения бифуркационной диаграммы Следующая программа на языке Python строит бифуркационную диаграмму. import matplotlib.pyplot as plt
x3 = 0.01 s = [] c = [] l = 0.01 for j in range(200): x0=x3 for i in range(200): x0 = 1 - l*x0*x0 s.append(x0) c.append(l) x3=x0 l += 0.01
plt.plot(c,s,'r.',ms=1) plt.show()
Аналитическое решение Для точное аналитическое решение выглядит следующим образом:
Примечания
См. также Марковские цепи Теория катастроф
Категория:Теория хаоса Категория:Законы экологии Категория:Демографическая теория Категория:Население Категория:Хаотические отображения