Трилистник (или узел-трилистник, ) — общее название для двух простейших нетривиальных узлов. Левый и правый трилистники – единственные узлы, допускающие диаграмму с тремя перекрёстками, при том, что любая диаграмма с меньшим числом перекрёстков представляет тривиальный узел.
Стоит отметить, что в научной литературе по теории узлов нередко можно встретить словосочетание «узел трилистник», которое от случая к случаю может подразумевать и один конкретный трилистник из двух существующих, и пару из двух трилистников с намёком на то, что утверждение, использующее этот термин, справедливо для них обоих, и использование такого определения самого узла, в котором между левым и правым трилистниками в принципе нет никакого различия (существование не обязательно сохраняющего ориентацию гомеоморфизма пар вместо существования объемлющей изотопии в качестве отношения эквивалентности геометрических узлов). Более подробно этот терминологический вопрос обсуждается в разделе «Определение».
Левый и правый трилистники являются зеркальными образами друг друга, а потому обладают очень сходными наборами присущих им свойств. Однако всё же некоторые тонкие инварианты, такие как многочлен HOMFLY-PT или , способны установить их формальное различие. Ещё одним дополнительным обстоятельством, способствующим существованию единого названия «трилистник» для обоих узлов, является то, что большинство классический табуляций в связи с экономией места не различают зеркальные узлы друг от друга.
Будучи простейшими узлами сразу по ряду показателей, трилистники нередко выступают как классические примеры или контр-примеры в различных теоретико-узловых рассуждениях, наряду с другим «несложным» узлом восьмёркой. Выдвигаемые гипотезы или обширные концепции нередко в первую очередь оказываются проверены и изучены именно в случае трилистников, если это представляется возможным в рамках предположений. Во многом в связи с этим трилистники – одни из наиболее подробно исследованных узлов.
Трилистники часто возникают в химии и молекулярной биологии как форма заузленности молекул (в таких случаях они иногда называются молекулярными или органическими трилистниками), являясь в этом виде классическими представителями пересечения абстрактной топологии с естественными науками.
Кроме того, различные изображения трилистников встречаются на многих артефактах разных культур и эпох – трилистники нередко использовались в качестве мистического или религиозного символа (в этом смысле чаще встречаются более локальные и специальные понятия вроде трикветр или валькнут), а также в искусстве, например, как составная часть росписей, узоров или мозаик.
В современном мире символ трилистника не менее популярен и различные стилизованные изображения трилистников нередко можно встретить на эмблемах и логотипах, в качестве декоративных элементов или в произведениях искусства.
Наряду с кольцами Борромео, зацеплением Хопфа, тривиальным узлом и некоторыми другими понятиями как классической теории узлов, так и топологии в целом, трилистники являются ключевым объектом в изложении и практике спорного психоаналитического исследования философов Жака Лакана и Жана-Мишеля Вапперо.
Определение
Когда речь заходит о трилистниках, в математической литературе обычно даётся одновременно некорректное и остенсивное определение, а именно, приводится изображение одного (правого или левого) трилистника и подпись вида «на этом рисунке изображён узел трилистник». Чаще всего это связано с предполагаемым уровнем знаний читателя – в работах для начинающих излагаемые ниже тонкие детали предполагаются несущественными, а в изданиях для профессионалов – хорошо известными. Кроме того, существует и другая неоднозначность – на рисунке справа (как и везде далее) трилистники называются левым и правым в соответствии с обозначениями книги Кунио Мурасуги «Knot Theory & Its Applications» (), однако в этом случае нет общего устоявшегося соглашения о нотации. Так, например, в другом классическом учебнике «Knot theory» Чарльза Ливингстона () используются противоположные обозначения.
Конечно, в случае определения с помощью рисунка, всегда подразумевается, что соответствующим трилистником называется любой геометрический узел, объемлюще-изотопный геометрическому узлу, образ которого изображён на рисунке, а также соответствующий объемлюще-изотопический класс.
Нередко слова «левый» и «правый» в принципе оказываются опущены в изложении. В таком случае обычно один из двух трилистников называется «трилистником», а другой — его «зеркальным образом». Действительно, левый и правый трилистники являются зеркальными образами друг друга, то есть диаграмма, полученная одновременным переключением всех перекрёстков на произвольной диаграмме правого трилистника, оказывается диаграммой левого трилистника и наоборот (определение зеркального образа корректно, так как «зеркальные отражения» движений Рейдемейстера являются движениями Рейдемейстера).
Кроме того, нетривиальным результатом является и то, что подобная терминология в принципе осмыслена, а левый и правый трилистники — действительно различные нетривиальные узлы, то есть являются несовпадающими объемлюще-изотопическими классами геометрических узлов. Впервые этот результат получил Макс Ден в 1914 году, исследуя введенную им в этой же работе группу узла вместе с так называемой «периферической системой» в виде меридиана и параллели, однако со временем появились и другие, менее трудоёмкие способы различить два трилистника, к примеру раскраски узлов или полиномиальные инварианты.
Хотя визуальное определение и является наиболее распространённым, существует ряд и более аккуратных эквивалентных определений, пусть и задействующих некоторые дополнительные концепции.
Косы
Правым трилистником называется любой геометрический узел, объемлюще изотопный замыканию Александера косы с двумя нитями, а также соответствующий объемлюще-изотопический класс. Торические узлы
Правым трилистником называется торический узел . Иными словами, правым трилистником называется любой геометрический узел, объемлюще изотопный простой замкнутой кривой в , заданной параметрически как
и лежащей на торе
а также соответствующий объемлюще-изотопический класс.
Рациональные тэнглы Правым трилистником называется любой геометрический узел, объемлюще изотопный числителю рационального тэнгла с дробью , а также соответствующий объемлюще-изотопический класс.
В каждом из приведённых выше случаев левый трилистник можно определить либо по аналогии, заменяя соответствующие знаки на противоположные, либо как зеркальный образ правого трилистника по определению.
Кроме того, заметим, что иногда термин «трилистник» всё таки имеет место быть без дополнительных уточнений. Дело в том, что всё изложенное выше (и далее) подразумевает работу с определением узла, основанном на понятии объемлющей изотопии. Существует также и эквивалентное этому определение, где под узлом также понимается некоторый класс эквивалентности геометрических узлов, но два геометрических узла теперь называются эквивалентными, если существует соответствующий гомеоморфизм пар (образ узла, трёхмерная сфера), переводящий образ одного геометрического узла в образ другого и сохраняющий ориентацию трёхмерной сферы. Однако в некоторых работах условие сохранения ориентации опускается, в связи с чем, оказывается допустимым гомеоморфизм, реализующий зеркальное отражение. Иными словами, в определении, не учитывающем сохранение ориентации, узел и его зеркальный образ являются одним и тем же узлом по определению. В частности, в таком определении левый и правый трилистники ничем не различаются и корректно использование одного слова для указания на любой из них. Но в связи с тем, что такое определение хоть и удобно для пользования в свете определенных задач и вопросов, но утрачивает достаточно широкий круг деталей, всё изложение настоящей статьи производится в объемлюще-изотопическом смысле.
Свойства Комбинаторные
Правый и левый трилистники – единственные узлы, допускающие диаграмму с тремя перекрёстками, причем в обоих случаях эта диаграмма минимальна. Иначе говоря, трилистники – единственные узлы с числом перекрёстков равным . Правый и левый трилистники являются рациональными (или двумостовыми) узлами с дробями и соответственно. Оба трилистника являются альтернированными узлами.
Оба трилистника имеют число развязывания, равное .
Оба трилистника имеют число отрезков, равное , причём это наименьшее значение, которое принимает число отрезков на нетривиальных узлах. Кроме того, трилистники – единственные узлы с таким числом отрезков. Оба трилистника имеют индекс косы равный , так как правый трилистник можно определить как замыкание Александера косы с двумя нитями, а левый – как замыкание Александера косы с двумя нитями, а индекс косы нетривиального узла всегда больше или равен .
Оба трилистника являются -раскрашиваемыми. Любой узел за конечное количество пасс-мувов можно преобразовать либо в тривиальный узел, либо в один из трилистников, причем трилистники тоже можно преобразовать друг в друга за конечное число пасс-мувов. Однако тривиальный узел нельзя преобразовать ни в левый, ни в правый трилистник за конечное число пасс-мувов. Более точно, гордиев граф преобразования пасс-мув имеет две компоненты связности, в одной содержится тривиальный узел, а в другой – оба трилистника. Если вершина гордиева графа пасс-мува, соответствующая некоторому данному узлу, в лежит в компоненте связности тривиального узла, то инвариант Арфа этого узла равен , а если в компоненте трилистников, то . Следовательно, оба трилистника имеют инвариант Арфа, равный . Это замечание, в частности, можно рассматривать как эквивалентное определение инварианта Арфа. Левый и правый трилистники не допускают зеркального сглаживания или, иначе говоря, не являются зеркально косметически эквивалентными. Это означает, что ни одна диаграмма правого трилистника не имеет такого перекрёстка, разрешение (сглаживание) которого бы дало диаграмму левого трилистника (и наоборот). Иными словами, в гордиевом графе -мува нет ребра, соединяющего трилистники.
Если – узел, являющийся связной суммой узлов, каждый из которых либо левый, либо правый трилистник, то его число развязывания и -число развязывания равны в точности исходя из гомологической оценки Хоста-Наканиши-Таниямы. В частности, из этого факта следует, что гордиевы графы переключения перекрёстков и -мува имеют бесконечный диаметр.
Топологические
Дополнения трилистников гомеоморфны (так как отражение является гомеоморфизмом). Оба трилистника имеют группу узла, допускающую копредставление . Другое копредставление этой же группы говорит об изоморфности этой группы группе кос с тремя нитями. Эта связь объясняется гомотопической эквивалентностью конфигурационного пространства трёх различных неупорядоченных точек на плоскости и внутренности дополнения трилистников. -листное разветвлённое накрытие , разветвлённое в правом трилистнике, гомеоморфно -листному разветвлённому накрытию , разветвлённому в левом трилистнике, и обычно обозначается через . Эти пространства исследованы достаточно подробно, в частности, известны их фундаментальные группы и группы гомологий. Так, при учёте обозначения справедливо следующее,
Некоторые из этих разветвлённых накрытий обладают необычными свойствами или являются особенными примечательными многообразиями. Так, например,
двулистное накрытие гомеоморфно линзовому пространству ,
фундаментальная группа трёхлистного накрытия изоморфна группе кватернионов,
фундаментальная группа четырёхлистного накрытия изоморфна бинарной группе тетраэдра,
пятилистное накрытие гомеоморфно гомологической сфере Пуанкаре, а его фундаментальная группа изоморфна бинарной группе икосаэдра,
-листные накрытия являются попарно негомеоморфными гомологическими сферами,
-листное накрытие гомеоморфно многообразию Брискорна .
Оба трилистника имеют род, равный . Оба трилистника имеют туннельное число, равное .