Редуктивная группа — алгебраическая группа , для которой её является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля.

Линейно-редуктивная группа — группа, любое которой вполне приводимо. Любая линейно-редуктивная группа редуктивна. Над полем характеристики 0 верно и обратное, то есть эти свойства равносильны.

Редуктивные группы включают большинство важных групп, таких как полная линейная группа обратимых матриц, специальная ортогональная группа и симплектическая группа . Простые алгебраические группы и (более общие) полупростые алгебраические группы являются редуктивными.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одна и та же над любым алгебраически замкнутым полем. В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина, как в теории или комплексных полупростых групп Ли. Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел или числовое поле, классификация вполне понятна. Классификация простых конечных групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникает как группа - простой алгебраической группы над конечным полем или как вариант такого построения с небольшими отклонениями.

Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группой над полем как алгебраические группы, которые являются действиями группы на -векторном пространстве. Можно также изучать комплексные представления группы , когда является конечным полем, бесконечномерным вещественной редуктивной группы или . Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях.

Определение

Линейная алгебраическая группа над полем определяется как замкнутая группы над полем для некоторого положительного целого . Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над является гладкой аффинной групповой схемой над полем .

Связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется полупростой, если любая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы тривиальна. Более обще, связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если любая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы тривиальна. (Некоторые авторы не требуют связности для редуктивных групп.) Группа над произвольным полем называется полупростой или редуктивной, если схема, полученная расширением базыО расширении (или замене) базы можно прочесть в книге Хартсхорна «Алгебраическая геометрия», стр. 124. , полупроста или редуктивна, где является алгебраическим замыканием поля . (Это эквивалентно определению редуктивных групп в предположении совершенства поля .) Любой тор над полем , такой как мультипликативная группа , редуктивен.

Базовым примером нередуктивной линейной алгебраической группы служит аддитивная группа над полем.

Линейная алгебраическая группа над полем называется простой (или -простой), если она полупроста, нетривиальна и любая гладкая связная нормальная подгруппа группы над полем тривиальна или равна . (Некоторые авторы называют это свойство «почти простая».) Это слегка отличается от терминологии абстрактных групп в том, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого , не меньшего 2 и любого поля группа над проста и её центр является групповой схемой -х корней из единицы.

Центральная изогения редуктивных групп является сюръективным гомоморфизмом с ядром в виде конечной схемы подгруппы. Любая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем : .

При определении редуктивной группы над полем ссылка на алгебраическое замыкание несколько неуместна. Для совершенного поля это можно опустить — линейная алгебраическая группа над полем редуктивна тогда и только тогда, когда любая гладкая связная унипотентная нормальная -подгруппа группы тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу, которая несколько более общая.

Редуктивная группа над полем называется расщепимой, если она содержит расщепимый максимальный тор над (то есть расщепимый тор в , смена базы которого на даёт максимальный тор в ). Согласно Александру Гротендику это эквивалентно высказыванию, что является расщепимым тором в группе , где  — максимальный среди всех -торов в .

Примеры Фундаментальным примером редуктивной группы является полная линейная группа обратимых матриц на полем для натурального числа . В частности, мультипликативная группа является группой , а тогда группа -рациональных точек является группой ненулевых элементов группы по умножению. Другой редуктивной группой является специальная линейная группа над полем , подгруппа матриц с определителем 1. Фактически, является простой алгебраической группой при , не меньших 2.

Важной простой группой является симплектическая группа над полем , подгруппа группы , которая сохраняет невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве . Также ортогональная группа () является подгруппой полной линейной группы, сохраняющей невырожденную квадратичную форму на векторном пространстве над полем . Алгебраическая группа имеет две связные компоненты, а её редуктивна и, фактически, является простой для с размерностью , не меньшей 3. (Для поля характеристики 2 и нечётного групповая схема , фактически, связна, но не гладка над . Простую группу можно всегда определить как максимальную гладкую связную подгруппу группы над полем .) Если поле алгебраически замкнуто, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной и той же размерности изоморфны, а потому целесообразно называть эту группу . Для поля общего вида различные квадратичные формы размерности могут дать неизоморфные простые группы над , хотя все они имеют замену базы на алгебраическое замыкание .

Другие описания редуктивных групп Любая компактная связная группа Ли имеет , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, данное построение даёт взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами (с точностью до изоморфизма). Для компактной группы Ли с комплексификацией включение из в комплексную редуктивную группу является гомотопической эквивалентностью по отношению к классической топологии на . Например, включение из унитарной группы в является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы над полем с характеристикой ноль все представления группы (как алгебраической группы) полностью приводимы, то есть они являются прямыми суммами неприводимых (reducible) представлений. Этот факт является источником названия «редуктивная» (reductive). Заметим, однако, что полная приводимость не выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (помимо торов). Более детально: аффинная групповая схема конечного типа над полем называется линейно редуктивной, если её представления полностью редуктивны. Для поля характеристики ноль группа линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единичная компонента группы редуктивна. Для поля с характеристикой , однако Масаёси Нагата доказал, что группа линейно редуктивна тогда и только тогда, когда группа и имеет порядок, взаимно простой с .

Корни Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной системы корней, как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли.

Пусть является расщепимой редуктивной группой над полем и пусть является расщепимым максимальным тором в . Тогда изоморфен для некоторого и называется рангом группы . Любое представление тора (как алгебраической группы) является прямой суммой 1-мерных представлений. Вес для группы означает класс изоморфизмов 1-мерных представлений тора или, эквивалентно, гомоморфизм . Веса образуют группу по тензорному произведению представлений, где изоморфна произведению копий группы целых чисел .

Присоединённое представление является действием группы путём сопряжения на её алгебре Ли . Корень группы означает ненулевой вес, который появляется в действии тора на . Подпространство пространства , соответствующее каждому корню, является одномерным, а подпространство пространства , фиксированное тором , является в точности алгеброй Ли тора . Поэтому алгебра Ли групп распадается на и одномерные подпространства, индексированные множеством корней: .

Например, если является группой , её алгебра Ли является векторным пространством всех матриц над полем . Пусть  — подгруппа диагональных матриц в . Тогда разложение на корневые пространства выражает в виде прямой суммы диагональных матриц и 1-мерных подпространств, индексированных недиагональными позициями . Обозначая через стандартный базис весовой решётки , корнями будут элементы для всех от 1 до .

Корни полупростой группы образуют систему корней. Это комбинаторная структура, которую можно полностью классифицировать. Более обще, корни редуктивной группы образуют слегка отличный вариант . Группа Вейля редуктивной группы означает факторгруппу нормализатора максимального тора по тору . Группа Вейля, фактически, является конечной группой, генерируемой отражениями. Например, для группы (или ), группой Вейля служит симметрическая группа .

Существует конечное число подгрупп Бореля, содержащих данный максимальный тор, и они переставляются простотранзитивно группой Вейля (действуя сопряжением). Выбор подгруппы Бореля определяет множество положительных корней со свойством, что Φ является дизъюнктным объединением . Очевидно, что алгебра Ли подгруппы Бореля является прямой суммой алгебры Ли группы и пространств положительных корней: . Например, если является подгруппой Бореля верхнетреугольных матриц в , то это является, очевидно, декомпозицией подпространства верхнетреугольных матриц в . Положительными корнями являются для .

Простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух каких-либо положительных корней. Обозначим через множество всех простых корней. Число простых корней, равное рангу подгруппы коммутаторов группы , называется полупростым рангом группы (который является простым рангом группы , если полупроста). Например, простыми корнями группы (или ) являются для .

Системы корней классифицируются соответствующими диаграммами Дынкина, являющимися конечными графами (в которых некоторые рёбра могут иметь направление или быть кратными). Множеством вершин диаграммы Дынкина является множество простых корней. Вкратце, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительные длины с учётом (группового инварианта Вейля) скалярного произведения на решётке весов. Связные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) приведены ниже.

Для расщепимой редуктивной группы над полем важным пунктом является то, что корень определяет не просто 1-мерное подпространство алгебры Ли группы , но также копию аддитивной группы в с данной алгеброй Ли, которая называется корневой подгруппой . Корневая подгруппа является единственной копией аддитивной группы в , которая нормализуется тором , и которая имеет данную алгебру Ли. Полная группа генерируется (как алгебраическая группа) тором и подгруппами корней, в то время как подгруппа Бореля генерируется тором и подгруппами положительных корней. Фактически, расщепимая полупростая группа генерируется одной лишь подгруппой корней.

Параболические подгруппы