Га́уссовы це́лые чи́сла (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.
Примеры: .
Впервые введены Гауссом в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832) . Множество гауссовых целых чисел принято обозначать отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел добавлением в него мнимой единицы и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия.
Общие свойства
Определение и классификация Формальное определение: . Множество содержит множество обычных целых чисел и представляет собой его расширение. Сумма, разность и произведение гауссовых чисел являются гауссовыми числами; для них, как и для целых чисел, сохраняются свойства ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности — такая алгебраическая структура называется в общей алгебре коммутативным кольцом. Ввести в этом комплексном кольце упорядоченность, согласованную с порядком вещественных чисел, невозможно.
Сопряжённое к гауссовому числу есть также гауссово число .
Каждое гауссово число удовлетворяет квадратному уравнению:
Поэтому гауссово число есть целое алгебраическое число.
Норма Норма для гауссова числа определяется как квадрат его модуля: .
Свойства нормы: Норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное целое число. Нормы сопряжённых чисел совпадают. Норма обычного целого числа равна его квадрату. Если норма нечётна, то она имеет вид , то есть при делении её на 4 получается остаток 1. Никакое гауссово число не может иметь норму вида .
Норма, как и модуль, обладает важным свойством мультипликативности:
Отсюда следует, что обратимыми элементами кольца (делителями единицы) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть .
Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности. Пример: гауссовы числа и ассоциированы, поскольку: . У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним. Нормы всех четырёх ассоциированных между собой чисел совпадают.
Теория делимости
Деление нацело Деление нацело гауссовых чисел определяется обычным образом:
Говорят, что гауссово число делится (нацело) на гауссово число , если существует третье гауссово число такое, что . Обозначение: .
Произношение: один из трёх равносильных вариантов. делится на ; делит ; — делитель . Используются традиционные термины: делимое или кратное (), делитель () и частное от деления (). Количество делителей гауссова числа всегда конечно, количество кратных бесконечно.
Пример: число 2 делится нацело на , потому что .
Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются тривиальными.
Деление нацело в по своим свойствам похоже на аналогичное деление целых чисел. Некоторые специфические для гауссовых чисел особенности: Если гауссово число делится нацело на обычное целое число, то на это целое число делятся как вещественная, так и мнимая часть . Если и , то эти числа ассоциированы. Если , то любое из 3 чисел, ассоциированных с , делится на любое из 3 чисел, ассоциированных с . Если делится на , то сопряжённое к делимому число делится на сопряжённое к делителю . Все делители гауссова числа являются также делителями его нормы . Норма гауссова числа чётна тогда и только тогда, когда это число делится на . Если , то и норма делимого, в силу мультипликативности, делится нацело на норму делителя. При этом:
Геометрическое представление делимости У каждого гауссова числа есть 4 кратных с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само и ассоциированные с ним 3 числа, которые получаются последовательным умножением на :
Но умножение на означает на комплексной плоскости поворот радиус-вектора числа на 90° против часовой стрелки, причём модуль результата будет тем же. Таким образом, все 4 числа образуют равносторонний крест (выделен красным на рисунке), центр и вершины которого кратны . Последовательно сдвигая этот крест во все стороны на одну из 4 величин, ассоциированных с , мы получаем на всей плоскости квадратную решётку, все узлы которой (вершины квадратов) кратны . Обратно, любое кратное совпадает с одним из узлов решётки. Ширина каждого квадрата решётки равна . Далее для краткости эта решётка будет называться «решёткой кратных» (или, если требуется уточнение, «»).
Пример: на рисунке одним из узлов решётки является число , кратное : .
Простые гауссовы числа
Простое гауссово число — ненулевое число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами.
Некоторые свойства простых гауссовых чисел: Если — простое гауссово число, то противоположное и сопряжённое к нему гауссовы числа тоже являются простыми. Если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем по крайней мере одного из сомножителей. Норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с , всегда нечётна и поэтому имеет вид .
Натуральное простое число может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в уже не простые:
Разложение гауссовых чисел с нормой от 2 до 100 на простые гауссовы множители см. в таблице Факторизация гауссовых чисел.
Взаимно простые числа Если гауссово число является делителем для двух гауссовых чисел и , оно называется их общим делителем. Множество общих делителей двух чисел всегда содержит 4 делителя единицы; если других общих делителей нет, эти числа называются взаимно простыми.
Отметим, что если нормы гауссовых чисел взаимно просты как целые числа, то и сами числа взаимно просты как гауссовы числа. Обратное неверно: нормы взаимно простых гауссовых чисел могут иметь общие делители — например, и взаимно просты, но их нормы совпадают и поэтому не взаимно просты.
Укажем два свойства, аналогичные свойствам целых чисел. Если каждое из двух гауссовых чисел взаимно просто с гауссовым числом то и их произведение тоже взаимно просто с . Если и при этом взаимно просто с , то .
Критерий Гаусса Гаусс указал определяющие признаки простого числа в .
Гауссово число является простым тогда и только тогда, когда: либо одно из чисел нулевое, а другое — целое простое число вида ; либо оба не нули и норма — простое натуральное число.
Примеры простых гауссовых чисел: к первой части критерия: ; ко второй части критерия: . Некоторые источники для большей ясности разделяют вторую часть критерия на две: Числа, ассоциированные с . Их норма равна 2. Числа, норма которых есть простое натуральное число вида . Сам Гаусс такого разделения не делал.
Следствия: Никакое простое натуральное число вида не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида являются и простыми гауссовыми числами. Норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа. Простое натуральное число вида можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел или, что то же самое, как сумму квадратов . Этот факт известен как Теорема Ферма — Эйлера. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа. Обратно, если простое натуральное число представимо в виде суммы натуральных квадратов, то в оно составное и разлагается на два сопряжённых гауссовых простых. Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа. Это значит, что разлагая натуральные простые на гауссовы множители, получаются все гауссовы простые.
Разложение на простые множители В имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей.
Пример: . Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: так что однозначность не нарушается.
Чтобы практически разложить гауссово число на простые множители, можно использовать приведённое выше свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к числу.
Таким образом, начать следует с разложения нормы числа на простые натуральные множители. Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как . Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые делится нацело. Кроме 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму , но и само . Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число . Отсюда вытекает, что множитель вида входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого — в степени, вдвое меньшей. Множитель вида можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.
Например, для разложения на простые множители (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: . По предыдущему, . При этом делится только на и не делится на . Частное от деления на равно поэтому окончательный результат: .
Теория сравнений
Сравнения по гауссовому модулю Понятие сравнения по модулю определяется в аналогично тому, как это делается для целых чисел:
Пусть — некоторое гауссово число. Два гауссовых числа называются сравнимыми по модулю , если разность делится (нацело) на . Запись: .
Свойства сравнений в в основном такие же, как у целых чисел. Отношение сравнимости есть отношение эквивалентности, поэтому разбивается на непересекающиеся классы вычетов — каждый такой класс содержит все сравнимые друг с другом (по заданному модулю) гауссовы числа. Для классов, как в случае целых чисел, можно определить сложение и умножение, так что получается кольцо вычетов по гауссову модулю.
Пример. Возьмём в качестве модуля сравнения . Тогда разбивается на два класса вычетов: числа , у которых одинаковой чётности, попадут в один класс (содержащий кратные для модуля), а числа с разной чётностью — в другой.
У гауссова сравнения имеются некоторые особенности. Например, если для целых чисел по модулю 3 существуют 3 класса вычетов с представителями то для гауссовых чисел по тому же модулю количество классов значительно больше. Их представители:
Как обнаружил Гаусс, кольцо вычетов по модулю содержит элементов. Этот факт вынуждает модифицировать некоторые классические теоремы. Например, малая теорема Ферма для целых чисел утверждает, что делится на для любого простого и натурального . Для гауссовых чисел это неверно, даже если ограничиться натуральными значениями ; например, для целых чисел всегда делится на 3, а для гауссовых , и это значение на 3 не делится. Модифицированный аналог малой теоремы Ферма формулируется следующим образом:
На том же примере с результат: — делится на 3.
Назовём класс вычетов по модулю содержащий число обратимым, если сравнение имеет решение относительно . Класс обратим тогда и только тогда, когда гауссовы числа и взаимно просты. В частности, если модуль сравнений — гауссово простое число, то каждый ненулевой класс вычетов имеет обратный элемент, а это значит, что классы вычетов по простому модулю в , как и в образуют поле.
Функция Эйлера для гауссовых чисел