Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве
Определение Пусть - компактный оператор между гильбертовыми пространствами. Для можно выбрать ортонормированные системы , и последовательность неотрицательных чисел так, что . называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его -чисел выполнено неравенство: . Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают:
Свойства Класс представляет собой банахово пространство относительно нормы Совокупность операторов конечного ранга плотна в Пространство - сепарабельно, если - сепарабельны Если , то - ядерный оператор и В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы и в пространстве и соответственно, что . Величину называют матричным элементом оператора. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.
Скалярное произведение Гильберта — Шмидта Класс можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов ввести скалярное произведение: , которое вдобавок согласуется с .
Из этого следует ряд свойств: Класс - сепарабельное гильбертово пространство. Пусть и - какие-либо ортонормированные базисы в . Тогда система одномерных операторов образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
Примеры Оператор в является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром. Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта
Литература
См. также Компактный оператор Ядерный оператор Норма Шаттена
Категория:Функциональный анализ