Фо́рмула Карно́ связывает сумму расстояний от центра описанной окружности треугольника до 3 его сторон и радиусов его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь французского учёного Лазара Карно (1753—1823).
Формулировка Пусть — центр описанной окружности треугольника Тогда сумма расстояний от до сторон треугольника взятых со знаком минус, когда высота из на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна: , где — радиус вписанной окружности, — описанной. В частности:
при правильном выборе знаковAltshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007..
Другие формулировки Формула КарноЗетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграф 57, с.73.:
где — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин треугольника.
Расстояние от центра описанной окружности например до стороны треугольника равно:
расстояние от ортоцентра например до вершины треугольника равно:
Если известны стороны треугольника , то формула Карно принимает вид:
Замечания В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея. Формулу Карно часто называют теоремой Карно.
Следствия Японская теорема о вписанном многоугольнике: Если вписанный -угольник разрезать на треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания. Более того, выпуклый -угольник является вписанным, если это условие соблюдается. Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.
Примечания
См. также Критерий Карно
Литература
Ссылки
Категория:Геометрия треугольника Карно Карно формула