Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное, то есть для всякого найдётся такое натуральное , что для всех (условие Коши).
Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства. Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным. Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то и сама последовательность сходится. Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Литература Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — : Наука, 2004. — 7-е изд. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — : Наука, 1970.
Категория:Ряды и последовательности Категория:Метрическая геометрия Категория:Функциональный анализ Категория:Сходимость