Линейный непрерывный оператор , действующий из линейного топологического пространства в линейное топологическое пространство — это линейное отображение из в , обладающее свойством непрерывности.
Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда многомерно. Если одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( или ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционалЛинейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.. Множество всех линейных непрерывных операторов из в обозначается .
В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.
Свойства Если конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен. Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём ). Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда. Если и — банаховы пространства, и образ оператора совпадает с пространством , то существует обратный оператор (т.н. теорема об обратном операторе). Множество всех линейных непрерывных операторов из в само является линейным топологическим пространством. Если и нормированы, то также нормировано операторной нормой. Если — банахово, то и является таковым, независимо от полноты .
Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств и . Например, если — конечномерное пространство, то оператор будет вполне непрерывным оператором, область его значений будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицыТакже, в конечномерном пространстве с базисом , линейный непрерывный оператор можно представить в виде , где — функции из сопряжённого пространства..
Непрерывность и сходящиеся последовательности Линейный оператор , действующий из линейного топологического пространства в линейное топологическое пространство , непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек , из следует .
Пусть ряд сходится и — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство
.
Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно.
Если , — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:
если слабо, то слабо.
Связанные определения Линейный оператор называется ограниченным снизу, если .
См. также Сопряжённый оператор
Литература
Примечания
Категория:Теория операторов