Альтернативная алгебра — алгебра над полем, умножение в которой является альтернативным. Каждая ассоциативная алгебра, очевидно, альтернативна, однако существуют и неассоциативные альтернативные алгебры, примером которых являются октавы. Обобщение октав, седенионы, уже не обладают свойством альтернативности.
Связь с алгеброй Мальцева
Для альтернативной алгебры и алгебры Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта. Имеется следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгебрами Мальцева: замена умножения в альтернативной алгебре M операцией коммутатора , превращает её в алгебру Мальцева .
Ассоциатор
С использованием ассоциатора
определяющие альтернативную алгебру тождества примут видЖевалков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И., "Кольца, близкие к ассоциативным" М.: Наука, 1978. Глава 2, Параграф 3. стр. 49-55.
для любых элементов и Отсюда, в силу полилинейности ассоциатора, несложно получить, что
Таким образом, в альтернативной алгебре ассоциатор является альтернативной операцией:
где — перестановка элементов — чётность этой перестановки. Верно и обратное: если ассоциатор альтернативен, то кольцо альтернативно. Именно из-за связи с альтернативностью ассоциатора альтернативные кольца получили такое название.
Аналогично можно показать, что для альтернативности ассоциатора достаточно выполнения любых двух из следующих тождеств:
откуда сразу следует третье из тождеств.
Примечания
Литература
См. также Алгебра Ли Алгебра Мальцева
Категория:Неассоциативные алгебры