Диаграмма Дынкина (или схема Дынкина) — определённый вид графов, в основном применяемый при классификация полупростых алгебр Ли. Названы по имени советского математика Евгения Дынкина, впервые применившего их в 1946 году.
В этих графах некоторые рёбра удвоены или утроены (рисуется как двойная или тройная линия). Кратные рёбра, с некоторыми ограничениями, являются ориентированными. Основное примененение диаграмм — классификация полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями: они приводят к группам Вейля, то есть ко многим (хотя не ко всем) . Диаграммы Дынкина возникают также и в других контекстах.
Термин «диаграмма Дынкина» может быть двусмысленным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются ориентированными, и в этом случае они соответствуют системам корней и полупростым алгебрам Ли, в то время как в других случаях они предполагаются неориентированными, и тогда они соответствуют группам Вейля. Ориентированные диаграммы для и дают ту же самую неориентированную диаграмму, которую обозначают В этой статье по умолчанию «диаграмма Дынкина» означает ориентированная диаграмма Дынкина, а для неориентированных диаграмм Дынкина это указывается явно.
Классификация полупростых алгебр Ли
Фундаментальный интерес к диаграммам Дынкина возникает вследствие того, что они позволяют классифицировать полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями. Некоторые классифицируют такие алгебры Ли через их системы корней, которые можно представить диаграммами Дынкина. Другие классифицируют диаграммы Дынкина согласно ограничениям, которым они должны удовлетворять, о чём рассказано ниже.
Избавление от направленности рёбер графа соответствует замене системы корней , которую они создают, так называемой группой Вейля, и тем самым неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.
Связанные классификации
Диаграммы Дынкина могут использоваться для классификации многих различных объектов, и запись «An, Bn, …» используется для ссылок на все такие интерпретации в зависимости от контекста. Такая двусмысленность может сбивать с толку.
Центральная классификация относится к простым алгебрам Ли, которые имеют систему корней, и с которыми ассоциированы (ориентированные) диаграммы Дынкина. Все три (из перечисленных ниже), например, могут быть обозначены как Bn.
Неориентированная диаграмма Дынкина является видом диаграмм Коксетера и соответствует группе Вейля, которая является , ассоциированной с системой корней. Таким образом, Bn может относиться к неориентированной диаграмме (специальный вид диаграммы Коксетера), группе Вейля (конкретная группа отражений), или абстрактной группе Вейля.
Заметим, что, в то время как группа Вейля, абстрактно, изоморфна группе Коксетера, конкретный изоморфизм зависит от порядка простых корней. Обратите внимание на то, что нотация диаграмм Дынкина стандартизована, в то время как диаграммы Коксетера и нотация группы варьируется и иногда согласуется с диаграммой Дынкина, а иногда нет.
Наконец, иногда ассоциированные объекты обозначаются той же нотацией, хотя это не всегда можно сделать на регулярной основе. Примеры: , образованная системой корней, как в решётке E8. Она определяется естественно, но не один-к-одному — например, A2 и G2 образуют одну и ту же шестиугольную решётку. Ассоциированный политоп — например, может быть обозначен как «политоп E8», так как его вершины получаются из корневой системы E8 и он имеет группу Коксетера E8 в качестве группы симметрии. Ассоциированная квадратичная форма или многообразие — например, E8 имеет форму пересечений, задаваемую решёткой E8. Эти последние обозначения чаще всего используются для объектов, ассоциированных с исключительными диаграммами, — для объектов, ассоциированных с обычными диаграммами (A, B, C, D), используются традиционные имена.
Индекс (n) равен числу узлов на диаграмме, числу простых корней в базисе, размерности корневой решётки и линейная оболочки системы корней, числу порождающих группы Коксетера и рангу алгебры Ли. Однако n не обязательно равен размерности определяющего модуля (фундаментального представления) алгебры Ли — индекс диаграммы Дынкина не следует путать с индексом алгебры Ли. Например, соответствует , которая действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли.
Диаграммы Дынкина в одну нитку, то есть не имеющие многократных рёбер (A, D, E) классифицируют много других математических объектов. Смотрите обсуждение в Классификация ADE.
Пример: A2
Например, обозначение может относиться к: Диаграмме Дынкина с двумя соединёнными узлами, , которую можно рассматривать также как диаграмму Коксетера. Системе корней с двумя простыми корнями под углом (120 градусов). Алгебре Ли 2. Группе Вейля симметрий корней (отражения относительно гиперплоскостей, ортогональных корням), которая изоморфна симметрической группе (порядка 6). Абстрактной группе Коксетера, представленной порождающими и соотношениями,
Ограничения
Диаграммы Дынкина должна удовлетворять некоторым ограничениям, тем, которым удовлетворяют конечные диаграммы Коксетера — Дынкина, и, кроме того, дополнительным кристаллографическим ограничениям.
Связь с диаграммами Коксетера Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Коксетера конечных групп Коксетера, и терминология часто объединяетсяВ этой секции мы говорим о «диаграммах Коксетера», а не о «диаграммах Коксетера — Дынкина» для краткости и для различения понятий, поскольку существует потенциальная возможность путаницы..
Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Коксетера конечных групп в двух важных отношениях: Частичная ориентированность Диаграммы Дынкина частично ориентированны — любое кратное ребро (в терминах Коксетера, имеющие метки «4» и выше) имеет направление (стрелку, направленную от одного узла к другому). Таким образом, диаграмма Дынкина несёт больше информации, чем соответствующая диаграмма Коксетера (неориентированный граф). На уровне корневых систем направление соответствует указанию на более короткий вектор. Рёбра, помеченные «3», не имеют направления, поскольку соответствующие вектора должны иметь равную длину. (Указание: Некоторые авторы используют обратное соглашение, направляя стрелку на более длинный вектор.) Кристаллографическое ограничение Диаграммы Дынкина должна удовлетворять дополнительному ограничению, а именно — допускаются рёбра только с метками 2, 3, 4 и 6. Это ограничение не распространяется на диаграммы Коксетера, так что не всякая диаграмма Коксетера конечной группы происходит от диаграммы Дынкина. На уровне корневых систем это соответствует . Ещё одно различие, чисто стилистическое, заключается в том, что диаграммы Дынкина принято рисовать с удвоенными и утроенными рёбрами между узлами (для p = 4, 6), а не помеченными цифрой «p».
Термин «диаграмма Дынкина» иногда относят к ориентированным графам, а иногда к неориентированным. Для точности, в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать ориентированная, а соответствующий неориентированный граф будем называть «неориентированной диаграммой Дынкина». Таким образом, диаграммы Дынкина и диаграммы Коксетера могут быть связаны следующим образом: кристаллографические точечные группы ориентированные Диаграммы Дынкина неориентированные Неориентированные Диаграммы Дынкина Диаграммы Коксетера — Дынкина конечных групп Это означает, что диаграммы Коксетера конечных групп соответствуют точечным группам, генерируемым отражениями, в то время как диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительным ограничениям, соответствующим . Также это означает, что диаграммы Коксетера неориентированны, в то время как диаграммы Дынкина (частично) ориентированны.
Математические объекты, систематизируемые диаграммами: кристаллографические точечные группы ориентированные Системы корней неориентированныеГруппы Вейля Конечные группы Коксетера Пустое место в правом верхнем углу, соответствующее ориентированным графам с лежащими под ними неориентированными графами любой диаграммы Коксетера (конечной группы), можно определить формально, но эти определения не допускают простой интерпретации в терминах математических объектов.
Существуют естественные сужающие отображения — из диаграмм Дынкина в неориентированные диаграммы Дынкина, и, соответственно, из корневых систем в ассоциированные группы Вейля, а также прямые отображения из неориентированных диаграмм Дынкина в диаграммы Коксетера, и, соответственно, из групп Вейля в конечные группы Коксетера.
Сужающие отображения отображают в (по определению), но не один-к-одному. Например, диаграммы Bn и Cn отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, так что иногда результирующая диаграмма Коксетера и группа Вейля обозначается BCn.
Прямые отображения просто являются включением — неориентированные диаграммы Дынкина являются частным случаем диаграмм Коксетера, а группы Вейля — специальными случаями конечных групп Коксетера, и это отображение не на, поскольку не всякая диаграмма Коксетера является неориентированной диаграммой Дынкина (отсутствующие диаграммы — H3, H4 и I2(p) для p = 5 p ≥ 7), и, соответственно, не всякая конечная группа Коксетера является группой Вейля.
Изоморфизмы
Диаграммы Дынкина обычно нумеруются так, чтобы список не был избыточным — для для для для и начиная с Элементы семейств, однако, можно определить и для младших n, получая диаграмм и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и ассоциированных групп Ли.
Проще всего начать со случаев n = 0 или n = 1, в которых все серии изометричны и имеется единственные пустая диаграмма и диаграмма с одним узлом. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина:
Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизмам простых и полупростых алгебр Ли.
Автоморфизмы
В дополнение к изоморфизмам между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют изоморфизмы на себя, то есть «автоморфизмы». Автоморфизмы диаграмм соответствуют алгебры Ли, что означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut/Inn равна группе автоморфизмов диаграммы .
Диаграммы, имеющие нетривиальные автоморфизмы — An (), Dn () и E6. Во всех этих случаях, за исключением D4, имеется один нетривиальный автоморфизм (Out = C2, циклическая группа порядка 2), в то время как для D4 группа автоморфизмов является симметрической группой трёх букв (S3, порядок 6) — этот феномен известен как «». Оказывается, все эти автоморфизмы диаграмм можно представить как симметрии традиционного рисунка диаграмм в евклидовой плоскости, но это лишь именно результат того, как они рисуются, а не присущая диаграммам структура.
Для An автоморфизм диаграмм — переворачивание диаграммы. Узлы диаграммы индексируются , которые (для An−1) равны для , и автоморфизм диаграммы соответствует двойственности Рассматриваемый как алгебра Ли внешний автоморфизм можно выразить как отрицательная транспозиция, .
Для Dn автоморфизм диаграммы переключает два узла на конце Y, и соответствует переключению двух хиральных . Рассматриваемый как алгебра Ли внешний автоморфизм можно выразить как сопряжение с помощью матрицы из O(2n) с определителем −1сопряжение матрицы g с помощью матрицы a — это матрица, подобная матрица a−1ga. Заметим, что так что их автоморфизмы одинаковы, в то время как и эта диаграмма несвязна, так что автоморфизм соответствует переключению узлов.
Для D4 фундаментальное представление изоморфно двум и получающаяся симметрическая группа трёх букв (S3, или, альтернативно, диэдрическая группа шестого порядка, Dih3) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам диаграммы.
Автоморфизм E6 соответствует переворачиванию диаграммы и может быть выражен с помощью йордановых алгебр .
Несвязные диаграммы, которые соответствуют полупростым алгебрам Ли, могут иметь автоморфизмы, полученные путём перестановки компонент диаграммы.