В 1851 году Джордж Стокс, решая уравнение Навье — Стокса, получил выражение для силы трения, действующей на сферические объекты с малыми числами Рейнольдса (например, для маленьких частиц) в покоящейся вязкой жидкости.
Формулировка
Закон Стокса устанавливает, что сила сопротивления (сила Стокса) , действующая на сферическое тело, движущееся в однородной неподвижной жидкости, пропорциональна скорости тела и его радиусу , причем коэффициентом пропорциональности служит (с точностью до константы ) динамическая вязкость жидкости : .
Сила направлена противоположно скорости тела.
Скорость падения сферического тела в жидкости
Пусть шарик массой радиуса положен без начальной скорости на поверхность полубесконечного слоя жидкости. В произвольный момент времени на шарик действуют минимум две силы — постоянная сила тяжести и сила Стокса . Если плотность материала, из которого изготовлен шарик (например, металла), значительно превышает плотность жидкости, то выталкивающей силой Архимеда в первом приближении можно пренебречь. Тогда уравнение движения шарика имеет вид:
,
где — ускорение. Поскольку силы коллинеарны и приложены к одной точке, уравнение можно переписать в скалярной форме, разделив на массу:
. (1)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно скорости имеет решение:
при начальном условии . Таким образом, скорость шарика монотонно возрастает, ограничена сверху и стремится как к верхней грани к пределу
(2)
при . В начальный момент времени шарик движется с ускорением свободного падения. По мере возрастания скорости увеличивается и сила Стокса, которая компенсирует постоянную силу тяжести. С течением времени шарик при (почти) равенстве этих сил станет двигаться равномерно по первому закону Ньютона. Как скоро это произойдет, определяется характеристическим временем , поскольку ускорение изменяется по закону . Формулу (2) можно получить из уравнения (1), просто положив .
При учете выталкивающей архимедовой силы и после перехода к плотностям выражение для установившейся скорости принимает вид:
, (3)
где — плотность материала шарика; — плотность жидкости. Хотя в классической формулировке закон Архимеда выполняется для статического случая, а не для движущихся телМанида С. Н. Закон Архимеда для ускоренно движущихся тел ., в данном случае выражение для силы Архимеда сохраняет обычный вид . Естественно, что шарик движется вверх (), если его плотность меньше плотности жидкости ().
Применение
Формулы (2) или (3) используют для непосредственного определения вязкости, для чего измеряют установившуюся скорость падения тяжелого шарика в столбе испытываемой жидкости. На этом принципе основан, например, вискозиметр ГепплераБольшая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). Гл. ред. А. М. Прохоров. 3-е изд. М., «Советская Энциклопедия». — Т. 5. Вешин — Газли. 1971. 640 с..
См. также Седиментационный анализ Уравнения Навье — Стокса Трение
Ссылки
Категория:Гидродинамика Категория:Вискозиметрия