Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
В едва узнаваемой форме многочлены Эрмита были определены Лапласом в 1810 году. Позднее они были подробно изучены Пафнутием Чебышёвым в 1859 году, но работа Чебышёва была проигнорирована математиками. А позже, в 1864, об открытых им новых многочленах написал статью Шарль Эрмит.
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
в физике обычно используется другое определение:
.
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
.
Явные выражения для первых одиннадцати ( = 0, 1, …, 10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
.
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать ( = 0, 1, …, 10) многочленов Эрмита в физическом определении:
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:
Свойства Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число : Многочлен чётен при чётном и нечётен при нечётном : . При верны такие соотношения: , (в вероятностном определении) . (в физическом определении) Уравнение имеет вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена . Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :
Формула сложения Для многочленов Эрмита имеет место следующая формула сложения:
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
, . Тогда
.
, , . Тогда
.
Дифференцирование и рекуррентные соотношения Производная -го порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Ортогональность Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале с весом или в зависимости от определения:
(в вероятностном определении), (в физическом определении),
где — дельта-символ Кронекера.
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись
Из этого вытекает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, , которые называются отношениями Нильса Нильсона:
Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
где — обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, — гамма-функция.
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент
можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
Дифференциальные уравнения Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения Эрмита:
Если является неотрицательным целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как
,
где — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .
Если является отрицательным целым числом, то частным решением уравнения Эрмита является, см. ,
,
где
.
Представления Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
где — контур, который охватывает начало координат.
Другое представление имеет вид:
.
Связь с другими специальными функциями Связь с функцией Куммера:
Связь с многочленами Лагерра:
Применение В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнение Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:
.
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям . Нормированные на единицу, они записываются как
.
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита .
Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :
,
то функции , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
.
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Примечания
Ссылки
Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
Литература
Исследование свойств преобразования Фурье вейвлетов Эрмита-Гаусса и применение полученных результатов в задачах радиоэлектроники
Категория:Ортогональные многочлены