Полупростра́нство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по одну сторону от некоторой плоскости в пространстве, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне плоскости. Эта плоскость определяет полупространство и является её границей, а полупространство исходит из своей границы, или просто полупространство от границы.

В некоторых источниках граница полупространства ему принадлежит, то есть полупространство замкнуто.

Замкнутое полупространство — полупространство со своей границей.

Полупространство есть неограниченная область, так как оно есть открытое множество и неограниченное выпуклое множество.

Другое название полупространства — одногранник, это простейший трёхмерный выпуклый многогранник.

Определение полупространства Геометрическое определение Полупространство — множество всех точек трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости , что и некоторая заданная точка вне плоскости, то есть полупространство — это точка и множество всех точек таких, что отрезок не имеет общих точек с плоскостью . Эта плоскость определяет полупространство и является её границей.

Теорема 1. Произвольная плоскость в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки и вне плоскости такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью всё пространство и имеют своими границами .

Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным. При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства.

Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию: ориентация плоскости, сторона плоскости, ориентация трёхмерного пространства — любые два однозначно определяют третий.

Обоснование определения Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в . Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением: .

Точки, неразделённые плоскостью — две точки и вне плоскости , , которые либо совпадают, , либо отрезок не имеет общих точек с плоскостью , .

Предложение 1. Две точки и вне плоскости , , неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа и одного знака.

Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности, причём соответствующих классов эквивалентности ровно два.

Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство.

Примеры полупространств Рассмотрим два чисто математических примера.

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром и радиусом изображается точкой с координатами . А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство.

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром и радиусом представляется точкой с координатами . А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство.

Аналитическое определение полупространства Декартовы координаты В общем трёхмерном случае в пространстве с декартовыми координатами координаты точек -мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости , где  — постоянные, причём , и одновременно не равны нулю.

Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость .

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств: координатная плоскость имеет уравнение с аппликатой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ; координатная плоскость имеет уравнение с ординатой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ; координатная плоскость имеет уравнение с абсциссой и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства и с границей ;

Перейдём к -мерному пространству с декартовыми координатами . Здесь координаты точек полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости , где  — постоянные, причём одновременно не равны нулю.

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств:

с границами

Векторное пространство В векторной нотации уравнение полупространства с границей, проходящей через заданную точку , записывается через скалярное произведение векторов как , или , где — произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости

в точке , приячём вектор направлен от точки в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства.

Банахово пространство Полупространство банахова пространства — одно из множеств точек , , где — банахово пространство, а — непрерывное линейное отображение (функционал на ), при этом ядро линейного отображения , на котором , называется гиперплоскостью банахова пространства .

Теорема 1. Если — другой функционал, причём , то найдётся такое число , , что .

Доказательство. Ядра и совпадают как границы совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь , и положим , . Тогда и , так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал , который обращается в нуль как на ядрах функционалов и , так и на векторе . Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и .

Верхнее полупространство Зигеля Обобщённая верхняя полуплоскость Зигеля (просто верхняя полуплоскость Зигеля, или ) — область в пространстве комплексных симметричных матриц порядка , образованная квадратными матрицами, мнимая часть которых положительно определена.

Верхнее полупространство Зигеля есть одна из разновидностей область Зигеля первого рода, ассоциированная с конусом положительно определённых симметричных матриц порядка . При верхнее полупространство Зигеля совпадает с обычной комплексной верхней полуплоскостью.

Источники

Литература

Дополнительная литература

Категория:Евклидова геометрия