Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть
где — параметр масштаба, — параметр сдвига.
Функция распределения По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:
Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:
Проверка свойств полученной функции: не убывает, так как положительна. , следовательно, непрерывна в точке ограничена. Пределы на бесконечностях:
Математическое ожидание и дисперсия В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал при вычислениях необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей () рассматриваются пределы вида . В результате
Моменты , где — целая часть s.
Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
После подстановок пределов интегрирования:
Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:
Или, в общем виде:
, где — целая часть s.
Характеристическая функция
Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера и классический пример нахождения интегралов вида и (см. Интегрирование по частям:Примеры):
Окончательно характеристическая функция есть:
Применение Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить:
к кредитным рискам; к страховым случаям; при работе с фильтром Кальмана.
Категория:Непрерывные распределения