Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние , которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумевается средняя длина свободного пробега <>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером , и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок). Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

где  — количество частиц мишени в единице объёма, а  — эффективное сечение.

Площадь такого слоя , объём , и тогда количество неподвижных атомов в нём . Вероятность рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

где  — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

Получаем дифференциальное уравнение

решение которого известно как закон закон Бугера и имеет вид , где  — расстояние, пройденное пучком,  — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от до , равна

И таким образом, среднее значение будет равно

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания , где  — толщина мишени

Кинетическая теория В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведённом выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула , вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

В состоянии равновесия значения скоростей и случайны и независимы, поэтому , а относительная скорость равна

Это означает, что количество столкновений равно , умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:S. Chapman and T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases , 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, , p. 88.

Из закона Менделеева — Клапейрона и с учётом (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом ) можно показать, что длина свободного пробега равна

где k — постоянная Больцмана.

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твёрдые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твёрдых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

где  — универсальная газовая постоянная, а  — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула , где  — эффективное сечение молекулы, равное ( — эффективный диаметр молекулы), а  — концентрация молекул.

Примеры В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений. Диапазон давленияДавление, ПаДавление, мм.рт.ст.Концентрация, молекул / см3Концентрация, молекул / м3Длина свободного пробега Атмосферное давление 101300 759.8 2.7 × 1019 2.7 × 1025 68 нм Низкий вакуум 30000 — 100 220 — 8×10−11019 — 1016 1025 — 1022 0.1 — 100 мкм Средний вакуум 100 — 10−1 8×10−1 — 8×10−4 1016 — 1013 1022 — 1019 0.1 — 100 мм Высокий вакуум 10−1 — 10−5 8×10−4 — 8×10−8 1013 — 109 1019 — 1015 10 см — 1 км Сверхвысокий вакуум 10−5 — 10−10 8×10−8 — 8×10−13 109 — 104 1015 — 1010 1 км — 105 км Экстремальный вакуум <10−10 <8×10−13 <104 <1010 >105 км

См. также Вакуум Рассеяние частиц Физическая кинетика Вязкость

Примечания

Ссылки

Категория:Термодинамика Категория:Молекулярная физика