Алгоритм Джонсона — позволяет найти кратчайшие пути между всеми парами вершин взвешенного ориентированного графа. Данный алгоритм работает, если в графе содержатся рёбра с положительным или отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом. Назван в честь , опубликовавшего алгоритм в 1977 году.
Алгоритм Дан граф с весовой функцией . Если веса всех рёбер в графе неотрицательные, можно найти кратчайшие пути между всеми парами вершин, запустив алгоритм Дейкстры один раз для каждой вершины. Если в графе содержатся рёбра с отрицательным весом, но отсутствуют циклы с отрицательным весом, можно вычислить новое множество рёбер с неотрицательными весами, позволяющее воспользоваться предыдущим методом. Новое множество, состоящее из весов рёбер , должно удовлетворять следующим свойствам. Для всех рёбер новый вес . Для всех пар вершин путь является кратчайшим путём из вершины в вершину с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда — также кратчайший путь из вершины в вершину с весовой функцией .
Сохранение кратчайших путей Лемма (Изменение весов сохраняет кратчайшие пути). Пусть дан взвешенный ориентированный граф с весовой функцией , и пусть — произвольная функция, отображающая вершины на действительные числа. Для каждого ребра определим
Пусть — произвольный путь из вершины в вершину . является кратчайшим путём с весовой функцией тогда и только тогда, когда он является кратчайшим путём с весовой функцией , то есть равенство равносильно равенству . Кроме того, граф содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции тогда и только тогда, когда он содержит цикл с отрицательным весом с использованием весовой функции .
Изменение веса Для данного графа создадим новый граф , где , для некоторой новой вершины , а . Расширим весовую функцию таким образом, чтобы для всех вершин выполнялось равенство . Далее определим для всех вершин величину и новые веса для всех рёбер .
Основная процедура В алгоритме Джонсона используется алгоритм Беллмана — Форда и алгоритм Дейкстры, реализованные в виде подпрограмм. Рёбра хранятся в виде списков смежных вершин. Алгоритм возвращает обычную матрицу размером , где , или выдает сообщение о том, что входной граф содержит цикл с отрицательным весом.
Алгоритм Джонсона Строится граф if Bellman_Ford = FALSE then do print «Входной граф содержит цикл с отрицательным весом» return ø for для каждой do присвоить величине значение , вычисленное алгоритмом Беллмана — Форда for для каждого ребра do for для каждой вершины do вычисление с помощью алгоритма Дейкстры величин для всех вершин for для каждой вершины do return D
Сложность Если в алгоритме Дейкстры неубывающая очередь с приоритетами реализована в виде фибоначчиевой кучи, то время работы алгоритма Джонсона равно . При более простой реализации неубывающей очереди с приоритетами время работы становится равным , но для разреженных графов эта величина в асимптотическом пределе ведёт себя лучше, чем время работы алгоритма Флойда — Уоршелла.
См. также Алгоритм Дейкстры Алгоритм Беллмана — Форда Алгоритм Флойда — Уоршелла
Ссылки Визуализатор алгоритма
Литература
Категория:Алгоритмы на графах Категория:Алгоритмы поиска на графах