В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Уравнение порядка n Общий вид уравнения : . Его частный случай : .
Подстановка Подстановка вида то есть приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Действительно, заметим, что , и . В соответствии с этим:
откуда
таким образом
Вычислим очередную производную сложной функции , что приводит к . и далее
что, аналогично, приводит к
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Пример Дано неоднородное уравнение . Определив подстановку , приходим к уравнению . После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами , решение которого имеет вид
или в терминах
Уравнение второго порядка Общий вид уравнения : . Его частный случай : .
Подстановкой то есть или, соответственно, то есть приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. . или, соответственно, .
Пример Дано неоднородное уравнение . Определив подстановку (), приходим к уравнению . После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами , решение которого имеет вид
или в терминах
Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида: . Его решениями являются функции вида: , где — корни характеристического уравнения , которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут и
Пример Дано однородное уравнение . Характеристическое уравнение которого имеет вид , с решениями , . Тогда общее решение однородного уравнения
Категория:дифференциальные уравнения Коши — Эйлера Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера