Модель Крамера — Лундберга — математическая модель, позволяющая оценивать риски разорения страховой компании. Частный случай модели Спарре — Андерсена, в которой процесс восстановления является пуассоновским. В рамках данной модели предполагается, что страховые взносы поступают равномерно, со скоростью условных денежных единиц за единицу времени, то есть — размер страховой премии. Модель позволяет определить размер страховой премии, необходимой для не разорения компании.
Обозначения Модель страхования заключается в описании случайного процесса , характеризующего капитал компании в момент времени .
Модель выглядит так: где
— капитал компании в момент времени ,
— стартовый капитал, ,
– скорость поступления страховых взносов,
— количество страховых исков от начала до момента времени ,
— сумма выплат по -му страховому случаю, выплата происходит в момент времени .
Cлучайный процесс разумно задать как пуассоновский процесс интенсивности . В таком случае модель называется моделью Крамера — Лундберга. Это связано с тем, что страховые случаи не связаны друг с другом, поэтому случайная величина, равная промежутку времени между двумя страховыми случаями, будет иметь экспоненциальное распределение (так как у этого распределения есть свойство "отсутствия памяти"). Чтобы перейти от промежутков между страховыми выплатами к случайному процессу, зависящему от времени , будем рассматривать процесс восстановления: – независимые случайные величины, имеющие распределение (промежутки времени между страховыми случаями), , . Этот процесс восстановления есть явная конструкция пуассоновского процесса. Таким образом задание обосновано.
Компания считается разорившейся, если . Пусть — первый момент времени, когда капитал компании становится нулевым или отрицательным. Наша задача найти вероятность разорения: .
Математические выкладки 1. Из свойств пуассоновского процесса получаем распределение количества выплат для каждого момента времени : .
2. Предположим что размер выплат — независимые одинаково распределенные случайные величины с .
Отсюда получаем условие, состоящее в том, что компания (в среднем) работает с положительной прибылью (то есть ), когда .
Смысл этого выражения такой: для положительной прибыли (в среднем) страховой взнос должен быть больше, чем средняя выплата в случае страхового случая, умноженная на величину, обратную среднему времени между двумя страховыми случаями.
Выводы модели С помощью статистических или иных методов, страховая компания должна вычислить средний размер одной страховой выплаты, а также вероятность наступления страхового случая. Размер страховой премии должен быть установлен на уровне не меньшем, чем произведение (вероятность предъявления страхового иска за единицу времени) и средней стоимости страхового иска . В таком случае, вероятность того, что страховая компания не разорится будет ненулевая.
Примечания
Литература
Категория:Финансовые модели Категория:Случайные процессы Категория:Актуарные расчёты