Главное расслоение — расслоение, соответствующее свободному действию группы на пространстве. Главные расслоения играют важную роль в математической формулировке калибровочных теорий.
Определение Пусть — топологическая группа. Главным расслоением со структурной группой (или -главным расслоением) называют локально тривиальное расслоение , снабжённое непрерывным правым действием группы , сохраняющим слои и действующим на них свободно и транзитивно. Соответственно, слой расслоения гомеоморфен , а база — множеству орбит .
Ассоциированное расслоение
Расслоение ассоциированное с данным -главным расслоением, имеет ту же структурную группу и функции перехода, но другой слой . Точнее, пусть — главное расслоение, — непрерывное левое действие структурной группы на топологическом пространстве . Определим правое действие на :
Рассмотрим факторпространство и определим проекцию . Тогда — локально тривиальное расслоение со структурной группой , называемое ассоциированным с .
В теории калибровочных полей на главном расслоении соответствует калибровочное поле, а сечениям ассоциированного расслоения — поля материи.
Свойства
Главное расслоение тривиально (то есть изоморфно ) тогда и только тогда, когда оно имеет глобальное сечение .
Примеры Расслоение реперов многообразия , имеющее структурную группу . Пусть — группа Ли, — некоторая её замкнутная подгруппа. Тогда мы получаем главное расслоение с базой , структурной группой и проекцией . Расслоение Хопфа — главное расслоение с базой , структурной группой и тотальным пространством . Регулярное накрытие является главным расслоением со структурной группой , действующей монодромией. В частности, универсальное накрытие является главным расслоением, причем его структурная группа — фундаментальная группа базы .
Литература
Категория:Расслоения Категория:Топология Категория:Математическая физика