Тензор электромагнитного поля — антисимметричный дважды ковариантный тензор, являющийся обобщением напряжённости электрического и индукции магнитного поля для произвольных преобразований координат. Он используется для инвариантной формулировки уравнений электродинамики, в частности, с его помощью можно легко обобщить электродинамику на случай наличия гравитационного поля.
Определение Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле
Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:
Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная
Отсюда также очевидна его инвариантность.
Свойства — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент. Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля:
Выражение для компонент Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид
Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как
Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид
что обозначается как
Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид
Применение Непосредственно из определения следует, что
В компонентах это выражение принимает вид
где — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:
Вторая пара уравнений Максвелла выражается (в Гауссовой СГС) через тензор электромагнитного поля и 4-ток как
где — вектор 4-тока.
Также можно записать их через звёздочку Ходжа:
Сила Лоренца (и, соответственно, дифференциальное уравнение для движения заряда в четырёхмерной форме) выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле:
Запись в дифференциальной форме Пусть в заданной системе отсчёта используются координаты и их дифференциалы . Тогда в них можно записать: Электрическое поле Магнитное поле Электромагнитное поле Первое уравнение Максвелла
Второе уравнение Максвелла
Первый инвариант э/м поля
Второй инвариант э/м поля
См. также Электромагнитный тензор энергии-импульса
Примечания
Литература
Категория:Электродинамика Категория:Тензоры в ОТО Категория:Теория относительности Категория:Теория поля