Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:
где — эксцентрическая аномалия, — эксцентриситет орбиты, а — средняя аномалия.
Впервые это уравнение вывел Хабаш аль-Хасиб в IX веке. Но в Европе оно получило распространение благодаря Иоганну Кеплеру, который вывел в его в «Новой астрономии» в 1609 году. Уравнение играет значительную роль в небесной механике.
Варианты уравнения Кеплера Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при . Движение по гиперболическим орбитам подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите используют уравнение Баркера. При орбит не существует.
Задача, приводящая к уравнению Кеплера Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что . Здесь — расстояние от тела до гравитирующего центра, — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии: . Здесь — время прохождения через перицентр.
Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.
Эллиптическая орбита Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид
Тогда уравнение для времени приобретает вид
Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:
Величина называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:
Величина является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией . Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.
Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:
Гиперболическая орбита Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: , . Тогда уравнение для гиперболы принимает вид , а связь между и . Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:
Величина называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку , то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом: . Отсюда видно, что .
Параболическая орбита Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид
где — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории
Откуда получаем интеграл, определяющий время движения
Вводим универсальную тригонометрическую замену
и преобразуем интеграл
получаем окончательно
Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.
Радиальная орбита Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует, значит
Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений
— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение
Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу
способ вычисления которого определяется знаком константы . Выделяют три случая
прямолинейно-эллиптическая орбита
Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену
вычисляем интеграл
Полагая , запишем результат
приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра , и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения
где .
прямолинейно-параболическая орбита
Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле
Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения
прямолинейно-гиперболическая орбита
Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, . Вводим замену
и вычисляем интеграл
Полагая , получаем
Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера
где
Решение уравнения Кеплера Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты () уравнение Кеплера принимает тривиальный вид . В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье: , где
— функция Бесселя.
Этот ряд сходится, когда величина не превышает значения предела Лапласа.
Приближённые методы Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:
В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):
Примечания
Литература
Категория:Иоганн Кеплер Категория:Небесная механика