Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который, в свою очередь, является частным случаем символа Кронекера — Якоби, который иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера.
Определение Пусть — целое число, и — простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом: , если делится на , если является квадратичным вычетом по модулю , но при этом не делится на , если является квадратичным невычетом по модулю
Свойства Мультипликативность: . Очевидными свойствами мультипликативности являются также следующие: если не делится на , то если — каноническое разложение на простые множители, то . Если , то . . Лемма Гаусса о квадратичных вычетах. Критерий Эйлера:
Если , то: (частный случай критерия Эйлера);
Квадратичный закон взаимности: Пусть p и q — неравные нечетные простые числа, тогда
Если , то . При среди чисел ровно половина имеет символ Лежандра, равный 1, а другая половина — равный −1.
Литература
Категория:Теория чисел