Категория называется полной в малом, если в ней любая малая диаграмма имеет предел. Двойственное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм оказывается слишком сильным условием, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком, между любыми двумя её объектами было бы не более одного морфизма.

Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.

Более слабое свойство категории — конечная полнота. Категория называется конечно полной, если в ней существуют все конечные пределы (то есть пределы всех диаграмм, индексированных конечным множеством). Аналогично определяются конечно кополные категории.

Примеры Следующие категории биполны: категория множеств ; категория групп ; категория колец ; категория абелевых групп ; категория топологических пространств ; категория компактных хаусдорфовых пространств ; категория малых категорий ; Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными: категория конечных множеств ; категория конечномерных векторных пространств над полем ; категория конечных групп ; Вообще, если  — категория моделей некоторой , то полна и кополна, так как она рефлективна в . Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной. (теорема о пределе с параметром) Если категория полна (кополна), то категория полна (кополна) для любой категории , причём пределы вычисляются поточечно. Любая абелева категория конечно полна и конечно кополна. Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань. Категория метрических пространств Met конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.

Свойства Существует теорема о том, что категория полна тогда и только тогда, когда в ней существуют все уравнители и малые произведения. Соответственно, категория кополна, если в ней есть все коуравнители и малые копроизведения.

Конечно полную категорию также можно охарактеризовать несколькими способами. А именно — следующие утверждения эквивалентны: C конечно полна, C имеет все уравнители и конечные произведения, C имеет все уравнители, бинарные произведения и терминальный объект, C имеет все декартовы квадраты и терминальный объект. Двойственные утверждения также эквивалентны.

Малая категория полна в малом, только если она является предпорядком. То же верно и для кополной категории; более того, для малой категории полнота и кополнота в малом эквивалентны.Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213

Если категория полна в малом, то для любой малой категории любой функтор имеет правое расширение Кана по любому функтору , причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.

Примечания

Литература С. Маклейн Категории для работающего математика, — : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4. Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — : Мир, 1983. — 487 с.

Категория:Теория категорий Категория:Пределы (теория категорий)