Вариация отображения — числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами.
Понятие «вариация отображения» было определено С. БанахомBanach S. Fundamenta Mathematicae. — 1925. — t. 7. — p. 225—-236..
Двухмерный случай Рассмотрим определение вариации отображения для двухмерного случая.
Пусть дано отображение
где и — непрерывные на квадрате функции. Говорят, что отображение имеет ограниченную вариацию, если существует число такое, что для любой последовательности неперекрывающихся квадратов со сторонами, параллельными осям координат , справедливо неравенство
где — образ множества при отображении ,
— плоская мера Лебега множества .
Численное значение вариации отображения может быть определено различными способами. Например, если отображение имеет ограниченную вариацию, то его вариация может быть определена по формуле:
где — число решений системы , или так называемая индикатриса Банаха отображения .
Было показаноКудрявцев Л. Д. Метрические вопросы теории функций и отображений. — в. 1. — К., 1969. — с. 34—108, что если отображение имеет ограниченную вариацию, то почти всюду на существует обобщённый якобиан , где , который интегрируем на . При этом
где — квадрат, содержащий точку , стороны которого параллельны осям ;
— образ множества ;
— плоская мера Лебега множества .
Литература
.
Примечания
Категория:Вариационное исчисление