Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.
Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.
Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.
Определения Цепным комплексом называется последовательность модулей и гомоморфизмов , называемых граничными операторами или дифференциалами:
,
такая что . Элементы называются -мерными цепями, элементы ядра — -мерными циклами, элементы образа — -мерными границами. Из следует, что (полуточность). Если к тому же , то такой комплекс называется точным.
Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами , где последовательность морфизмов , такая что коммутирует с дифференциалом, то есть .
Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль , снабжённый дифференциалом степени −1.
Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.Комплекс // Математическая энциклопедия.
Коцепной комплекс Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей и гомоморфизмов , таких что
Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.
Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.
Гомологии и когомологии
n-мерная группа гомологий цепного комплекса является его мерой точности в n-ом члене и определяется как . Для точного комплекса
Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:
Гомоморфизмы цепных комплексов Гомоморфизмом цепных комплексов и называется такое отображение что следующая диаграмма оказывается коммутативной:
Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.
Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom Если V = V и W = W — цепные комплексы, то их тензорное произведение — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид
а дифференциал задаётся формулой
где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а обозначает степень элемента a.
Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой . Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид , а дифференциал задаётся формулой . Имеется естественный изоморфизм .
Цепная гомотопия
Цепная гомотопия между гомоморфизмами комплексов и — это такой гомоморфизм цепных комплексов и степени +1 (то есть ), для которого
Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид
Примечания
Литература Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — : 1961. (Б-ка сборника «Математика»). Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — : Мир, 1976. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — : Издательство Иностранной Литературы, 1960. Маклейн С. Гомология, — : Мир, 1966.
Категория:Алгебраическая топология Категория:Гомологическая алгебра