Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.
Определение Взаимно однозначное отображение области на область (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным ( — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.
Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.
Связанные определения Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении. Две метрики на гладком многообразии называются конформно эквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае функция называется конформным фактором .
Свойства
Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур; Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов). Это свойство можно также взять за определение конформного отображения. Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск. Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства при можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий. Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
где и обозначают тензоры Вейля для и соответственно. Для конформно-эквивалентых метрик Связности связаны следующей формулой:
Кривизны связаны следующей формулой:
если а обозначает Гессиан функции . В двумерном случае , поэтому формулу можно записать как
где обозначает лапласиан по отношению к . Для ортонормированной пары векторов и , секционную кривизну в направленнии можно записать в следующем виде:
где . При вычислении скалярной кривизны -мерного риманова многообразия при , удобнее записывать конформный фактор в виде . В этом случае:
Линейный оператор называется конформным лапласианом.
Примеры
Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя; Инверсия — конформное отображение второго рода; Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости; Стереографическая проекция.
История Исследованием конформных отображений занимались , , , , , , , М. А. Лаврентьев.
Применение Конформное отображение применяется в космологииНетензорность гравитационной энергии в ОТО, в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).
Литература Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша Лаврентьев М. А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз. Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60-68.
См. также Условия Коши — Римана Теорема Римана об отображении Теорема Шварца — Кристоффеля Диффеоморфизм Принцип соответствия границ
Ссылки Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
Категория:Типы функций Категория:Комплексный анализ Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия