Схемой преобразования [множеств] (Axiom schema of replacement) называется следующее высказывание теории множеств: , где
Схему преобразования можно сформулировать словесно: "Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество , высказав функциональное суждение обо всех элементах данного множества ."
Пример
В следующем примере функциональное суждение преобразует каждое множество в самого себя.
Другие формулировки схемы преобразования Схему преобразования записывают также в следующем виде:
Примеры
1. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество натуральных чисел в множество чётных чисел .
2. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество вещественных чисел в [неупорядоченную] пару .
3. В следующем примере функциональное суждение преобразует множество целых чисел в подмножество натуральных чисел .
Схему преобразования записывают также в следующем виде: , где
Фон Нейман доказал, что данная аксиома следует из . Аксиома схемы преобразований может быть выражена как: если F является функцией, а A является множеством, то F(A) - это множество.
Примечания 1. Связь между схемой преобразования и аксиомой пары выражается следующим высказыванием:
где - булеан булеана пустого множества.
2. Связь между схемой преобразования и схемой выделения выражается следующим высказыванием:
Историческая справка Схема преобразования не вошла в совокупность аксиом теории множеств, сформулированных немецким математиком Эрнстом Цермело в 1908 году.
Схема преобразования предложена Адольфом Френкелем в 1922 году, чуть позднее и независимо от него схема была предложена норвежским математиком Туральфом Скулемом.
См. также Аксиоматика теории множеств
Литература
Категория:Аксиомы теории множеств