Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то прямая, проходящая через точку и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.
Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок (на рисунке справа) называют антимедиатрисой противоположных сторон четырёхугольника. С учётом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:
Две пары антимедиатрис вписанного ортодиагонального четырёхугольника проходят через точку пересечения его диагоналей.
Доказательство На рисунке изображён вписанный четырёхугольник , имеющий перпендикулярные диагонали и , а прямая перпендикулярна стороне и пересекает сторону в точке . Тогда:
(Вертикальные углы)
(, так как являются прямоугольными и опираются на один угол )
(опираются на одну дугу )
Следовательно, — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и . Поэтому .
Антицентр и коллинеарность Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного ортодиагонального четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно «вершинного центроида». Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, «вершинный центроид» и антицентр лежат на одной прямой.
Обобщения Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны . Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника). Эта теорема обобщает теорему Брахмагупты, однако отсутствие вписанности четырёхугольника в окружность приводит к тому, что его антимедиатрисы пересекаются не в точке, являющейся точкой пересечения его диагоналей.
Примечания
Литература
Категория:Четырёхугольники Б Категория:Планиметрия Категория:Окружности