Си́ла Ло́ренца — сила, с которой электромагнитное поле, согласно классической (неквантовой) электродинамике, действует на точечную заряженную частицу. Иногда силой Лоренца называют силу, действующую на движущийся со скоростью заряд лишь со стороны магнитного поля, нередко же полную силу — со стороны электромагнитного поля вообщеТакая двойственность применения термина «сила Лоренца», очевидно, объясняется историческими причинами: дело в том, что сила, действующая на точечный заряд со стороны только электрического поля была известна задолго до Лоренца — Закон Кулона был открыт в 1785 году. Лоренц же получил общую формулу для действия и электрического, и магнитного полей, отличающуюся от прежней как раз выражением для магнитного поля. Поэтому то и другое, вполне логично, называют его именем., иначе говоря, со стороны электрического и магнитного полей. В Международной системе единиц (СИ) выражается как-поле измеряется в амперах на метр (А/м) в единицах SI, и в эрстедах (Эр) в единицах СГС. :
Электромагнитная сила, действующая на заряд , представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля , пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к магнитному полю и скорости , пропорциональной величине магнитного поля, заряду и скорости. Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на проводник с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через область с магнитным полем (закон индукции Фарадея), и силу, действующую на движущиеся заряженные частицы.
Историки науки предполагают, что этот закон подразумевался в статье Джеймса Клерка Максвелла, опубликованной в 1865 году . Хендрик Лоренц привёл полный вывод этой формулы в 1895 г.Per F. Dahl, Flash of the Cathode Rays: A History of J J Thomson’s Electron, CRC Press, 1997, p. 10., определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силыPaul J. Nahin, Oliver Heaviside , JHU Press, 2002..
Для силы Лоренца, так же как и для сил инерции, нарушается третий закон Ньютона (понимаемый как декларация совпадения, с точностью до знака, сил воздействия двух тел друг на друга). Восстановить справедливость этого закона Ньютона в случае силы Лоренца можно переформулировав его как закон сохранения импульса (ЗСИ) в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поляМатвеев А. Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд. — М. Высшая школа 1976. — С. 132..
Полный вывод такого утверждения требует определения понятия «импульс поля», а едва ли не единственный способ сделать это — привлечь теорему Эммы Нётер (и тесно связанное с ней понятие тензора энергии-импульса) в классической (неквантовой) теории поля в лагранжевом формализме. Однако характерный импульс поля/волны («давление света») во многих реальных технических применениях представляет собой исчезающе малую величину (импульс поля равен его характерной энергии, делённой на скорость света ). Это означает справедливость ЗСИ для одного лишь заряженного вещества, и, в свою очередь, если вещество состоит из всего 2 материальных точек — справедливость третьего закона Ньютона (он равносилен ЗСИ для замкнутой системы, которая есть пара материальных точек/тел).
Сила Лоренца как определение E и B
Во многих учебниках по электромагнетизму силу Лоренца используют в качестве определения электрического и магнитного полей E и BSee, for example, Jackson, pp. 777-8.. These authors use the Lorentz force in tensor form as definer of the electromagnetic tensor F, in turn the fields E and B.. В частности, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:
Электромагнитная сила F, действующая на пробный заряд в данной точке и момент времени, является определённой функцией его заряда q и скорости v, которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :
.
Это выражение верно в том числе для случая движения частицы со скоростью близкой по величине к скорости света (v = | v | ≈ c). Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всём пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно силы, которую испытывает пробный заряд, помещённый в электромагнитное поле.
Как определение E и B, сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического пробного тела бесконечно малой массы и заряда) будет создавать свои собственные конечные поля E и B, изменяющие электромагнитную силу, которую он испытывает. Вдобавок, заряд в магнитном поле обычно движется по криволинейной траектории, то есть с ускорением — а значит, он испускает излучение и теряет кинетическую энергию (см., например, статьи тормозное излучение или синхротронное излучение). Эти эффекты возникают за счёт как прямого воздействия (так называемой силы реакции излучения), так и косвенного (путём воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).
Уравнение
Заряженная частица
Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q и мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B, определяется выражением (в единицах СИ):See Jackson, page 2. The book lists the four modern Maxwell’s equations, and then states, «Also essential for consideration of charged particle motion is the Lorentz force equation, F = q (E+ v × B), which gives the force acting on a point charge q in the presence of electromagnetic fields.» где знак × обозначает векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). В декартовых компонентах
В общем случае, электрическое и магнитное поля зависят от координат и времени. Следовательно, в явном виде силу Лоренца можно записать как
,
где r — вектор положения заряженной частицы, t — время, а точка обозначает производную по времени.
Положительно заряженная частица будет ускоряться в том же направлении, что и поле E, но её траектория будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом буравчика (если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v, а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении B, тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F).
Член q E называется электрической силой, а член q (v × B) — магнитной силойSee Griffiths, page 204.. Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силыFor example, see the website of the Lorentz Institute or Griffiths., а формуле с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), дано другое название. В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.
Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на помещённый в магнитное поле проводник с током. В этом контексте эта сила также называется силой Лапласа.
Сила Лоренца — это сила воздействия электромагнитного поля на заряженную частицу, или. другими словами, скорость, с которой передаётся линейный импульс от электромагнитного поля частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передаётся от электромагнитного поля частице:
.
Магнитное поле не совершает работы, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.
Непрерывное распределение заряда
Для непрерывного распределения заряда, находящегося в движении, уравнение для силы Лоренца принимает дифференциальный вид
,
где — сила, действующая на небольшой элемент объёма с зарядом . Если обе части данного уравнения разделить на объём этого небольшого фрагмента распределения заряда , то получится выражение
,
где — плотность силы (сила на единицу объёма) и — плотность заряда (заряд на единицу объёма). Далее, плотность тока, соответствующая движению заряда, равна
,
так что непрерывным аналогом уравнения для силы Лоренца является выражение К полной силе можно прийти вычислив объемный интеграл по распределению заряда:
.
Устраняя и через уравнения Максвелла, с помощью теорем векторного исчисления эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла и, комбинируя с вектором Пойнтинга (здесь — напряжённость магнитного поля), получить тензор T энергии-импульса электромагнитного поля, применяемый в общей теории относительности.
В терминах и вектора Пойнтинга можно записать силу Лоренца (на единицу объёма) в виде
,
где — скорость света, ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а плотность потока импульса (первый член справа) электромагнитного поля и изменение плотности потока энергии поля (второй член справа) с силой, действующей на распределение заряда.
Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна
.
Если разделить полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, получится, что плотность силы Лоренца равна
,
где — плотность свободного заряда; — поляризация ; — плотность тока свободных зарядов; и — намагниченность. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту из-за внешнего магнитного поля.
Уравнение в единицах СГС В приведённых выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространёнными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В системе СГС, которая более распространена среди физиков-теоретиков, сила Лоренца примет вид
,
где c — скорость света. Хотя это уравнение выглядит несколько иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку новые величины связаны в двух системах единиц соотношениями
где ε 0 — диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ 0 — магнитная проницаемость вакуума. На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна быть понятна из контекста.
Частные случаи
В однородном магнитном поле, направленном перпендикулярно вектору скорости, под действием силы Лоренца заряженная частица будет равномерно двигаться по окружности постоянного радиуса (называемого также гирорадиусом). Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой: СГССИ
Работа силы Лоренца будет равна нулю, поскольку векторы силы и скорости всегда ортогональны. При скорости , намного меньшей скорости света, круговая частота не зависит от : СГССИ
Если заряженная частица движется в магнитном поле так, что вектор скорости составляет с вектором магнитной индукции угол , то траекторией движения частицы является винтовая линия с радиусом и шагом винта : СГССИ , ,
История
Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Иоганн Тобиас Майер и другие в 1760 году предполагали, что сила взаимодействия между магнитными полюсами как и сила действующая между электрически заряженными объектами, установленная Генри Кавендишем в 1762 году, подчиняются закону обратных квадратов. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон, используя крутильные весы, смог окончательно экспериментально показать правдивость этого предположения. Вскоре после открытия в 1820 году Хансом Кристианом Эрстедом того факта, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально получить формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока. Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.