Разре́женная/разрежённая матрица — матрица с преимущественно нулевыми элементами. В противном случае, если бо́льшая часть элементов матрицы ненулевая, матрица считается плотной или заполненной.
Среди специалистов нет единства в определении того, какое именно количество ненулевых элементов делает матрицу разрежённой. Разные авторы предлагают различные варианты. Для матрицы порядка n число ненулевых элементов: есть O(n). Такое определение подходит разве что для теоретического анализа асимптотических свойств матричных алгоритмов; в каждой строке не превышает 10 в типичном случае; ограничено , где . таково, что для данного алгоритма и вычислительной системы имеет смысл извлекать выгоду из наличия в ней нулей.
Огромные разрежённые матрицы часто возникают при решении таких задач, как дифференциальное уравнение в частных производных.
При хранении и преобразовании разрежённых матриц в компьютере бывает полезно, а часто - и необходимо, использовать специальные алгоритмы и структуры данных, которые учитывают разрежённую структуру матрицы. Операции и алгоритмы, применяемые для работы с обычными, плотными матрицами, применительно к большим разрежённым матрицам работают относительно медленно и требуют значительных объёмов памяти. Однако разрежённые матрицы могут быть легко сжаты путём записи только своих ненулевых элементов, что снижает требования к компьютерной памяти.
Представление Существует несколько способов хранения (представления) разрежённых матриц, различающихся:
удобством изменения структуры матрицы (активно используется косвенная адресация) — это структуры в виде списков и словарей. скоростью доступа к элементам и возможной оптимизацией матричных вычислений (чаще используются плотные блоки-массивы, увеличивая локальность доступа к памяти).
Словарь по ключам (DOK — Dictionary of Keys) строится как словарь, где ключ — это пара (строка, столбец), а значение — это соответствующий строке и столбцу элемент матрицы.
Список списков (LIL — List of Lists) строится как список строк, где строка — это список узлов вида (столбец, значение).
Список координат (COO — Coordinate list) хранится список из элементов вида (строка, столбец, значение).
Сжатое хранение строкой (CSR — Compressed Sparse Row, CRS — Compressed Row Storage, Йельский формат)
Мы представляем исходную матрицу , содержащую ненулевых значений в виде трёх массивов:
массив значений — массив размера , в котором хранятся ненулевые значения, взятые подряд из первой непустой строки, затем идут значения из следующей непустой строки и т. д. массив индексов столбцов — массив размера хранит номера столбцов соответствующих элементов из массива значений. массив индексации строк — массив размера (кол_во_строк + 1), для индекса хранит количество ненулевых элементов в строках с первой до строки включительно, при этом последний элемент массива индексации строк совпадает с , а первый всегда равен .
Примеры:
Пусть , тогда массив_значений = {1, 2, 4, 2, 6} массив_индексов_столбцов = {0, 1, 1, 1, 2} массив_индексации_строк = {0, 2, 3, 5} -- в начале хранится 0, как запирающий элементПусть , тогда массив_значений = {1, 2, 3, 4, 1, 11} массив_индексов_столбцов = {0, 1, 3, 2, 1, 3} массив_индексации_строк = {0, 3, 4, 6} -- в начале хранится 0, как запирающий элементДля того, чтобы восстановить исходную матрицу, нужно взять некоторое значение в первом массиве и соответствующий индекс ,
тогда номер столбца , а номер строки находится, как наименьшее , для которого , это удобно, например, при матричном умножении на плотный векторvoid smdv(const crsm *A, double *b, const double *v) // b += Av { // crsm это структура {int n, int m, int nnz, double aval[], double aicol[], double airow[]}; for(int row = 0; row < n; ++row) for(int i = A->airow[row]; i < A->airow[row+1]; ++i) b[row] += A->aval[i] * v[A->aicol[i]]; }Сжатое хранение столбцом (CSС — Compressed Sparse Column, CСS — Compressed Column Storage)
То же самое, что и CRS, только строки и столбцы меняются ролями — значения храним по столбцам, по второму массиву можем определить строку, после подсчётов с третьим массивом — узнаём столбцы.
Библиотеки программ Для вычислений с разрежёнными матрицами создан ряд библиотек для различных языков программирования, среди них:
SparseLib++ (C++) uBLAS (C++, в составе Boost) SPARSPAK (Фортран) CSparse (Си) Модуль Sparse из библиотеки SciPy (Python) Модуль SparseArrays из стандартной библиотеки Julia.
Примечания
Литература перевод:
Категория:Комбинаторика Категория:Типы матриц