Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определение
Пусть дано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Пусть Точка называется грани́чной то́чкой мно́жества , если для любой её окрестности справедливо:
Множество всех граничных точек множества называется границей множества или границей множества в и обозначается или если необходимо подчеркнуть, что рассматриавется как подмножество объемлющего пространства .
Свойства
— замкнутое множество; — открытое множество тогда и только тогда, когда — замкнутое множество тогда и только тогда, когда — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
Примеры
Рассмотрим числовую прямую со стандартной топологией. Тогда: для : Для :
См. также Край многообразия Замыкание (топология)
Литература
Категория:Общая топология Категория:Математический анализ