Инвариа́нт узла́ — любая характеристика узла (в простейшем число, но может быть многочленом, группой и так далее), которая определена для каждого узла и одинакова для эквивалентных узлов. Эквивалентность обычно задаётся объемлющей изотопией, но может задаваться и как гомеоморфизм.
Исследования инвариантов мотивированы не только основной задачей теории — различением узлов — но также и необходимостью понять фундаментальные свойства узлов и их связью с другими областями математики.
С современной точки зрения, естественно определять инвариант узла по его диаграмме. Конечно, инвариант должен оставаться неизменным при движениях Рейдемейстера, это свойство эквивалентно инвариантности характеристики.
Примеры Простейшим примером инварианта является возможность раскрасить узел в три цвета, а также число таких раскрасок. Одними из самых удобных инвариантов для различения узлов являются многочлены узлов: Многочлен Джонса Многочлен Александера Инварианты конечного типа — класс инвариантов узлов, характеризующийася определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений. Другие инварианты могут быть определены при рассмотрении некоторых целочисленных функций на узловых диаграммах, взятием их минимума среди всех возможных диаграмм данного узла. К этому типу относится число сечений, которое является минимумом количества перекрёстов среди всех диаграмм узла, а также минимальное число мостов. Такие инварианты легко определить на почти невозможно посчитать. Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения. Квандл узла (knot quandle) также является полным инвариантом в этом смысле, но квандлы трудно сравнивать на изоморфность. Гиперболическая структура на дополнении гиперболического зацепления однозначно определяется жёсткостью Мостова, поэтому гиперболический объём инвариантен для этих узлов и зацеплений. Объём и другие гиперболические инварианты оказались эффективныи, для составления обширных таблиц узлов. Гомологические инварианты узлов, которые категорифицируют (переводят в термины теории категорий) хорошо известные инварианты. Например Гомология Хигарда Флора — это теория гомологии, эйлеровой характеристикой которой является полином Александера узла. Она оказалась полезной для получения новых результатов о классических инвариантах. Ещё одно направление исследований — комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика — полином Джонса.
Литература
Категория:Теория узлов