Аддитивность в общей алгебре — свойство отображения между алгебрами с общей сигнатурой, наделённых , являющимися группами (моноидами, полугруппами) с бинарной операцией с нотацией сложения, когда оно является гомоморфизмом для таких редуктов; вариант аддитивности для сложных алгебраических структур со сложением. Например, отображение колец аддитивно, если оно является гомоморфизмом аддитивной группы кольца в аддитивную группу кольца , то есть , но при этом не обязательно, чтобы сохраняло произведение. Может характеризовать отображения полей, тел, векторных пространств, алгебр над полями, модулей — всех структур с «аддитивной частью».
Если и — аддитивные отображения, то отображение аддитивно.
Аддитивное отображение тела характеристики можно представить в виде: , число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения называются компонентами аддитивного отображения.
Линейное отображение — аддитивное и однородное отображение векторных пространств (в наиболее общем случае — модулей), оно, в отличие от аддитивных отображений без дополнительных условий, всегда является гомоморфизмом соответствующих структур целиком, а не только их аддитивных групп. В связи с тем, что всякую абелеву группу можно представить модулем над кольцом целых чисел , иногда аддитивные отображения для структур, содержащих абелеву группу в качестве редукта, также называют -линейными, поскольку для любого аддитивного отображения в построенных таким образом модулях над кольцом целых чисел имеет место и однородность.
Литература
Категория:Общая алгебра