Надстройкой над топологическим пространством называется топологическое пространство , являющееся фактор-пространством пространства полученное стягиванием подмножества в одну точку, а — в другую.
Приведённой надстройкой над топологическим пространством с отмеченной точкой называется топологическое пространство , являющееся фактор-пространством пространства полученное стягиванием подмножества в одну точку.
Надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.
Если , то через обозначается соответствующая точка пространства при проекции . Если — приведённая надстройка, то для всех . Точка обозначается через и рассматривается как пространство с отмеченной точкой .
Если задано отображение , то формулой определено отображение . При этом — ковариантный функтор из категории пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений в категорию Н-когрупп и непрерывных гомоморфизмов. Пространство является Н-когруппой с коумножением , определённым формулой
.
Свойства Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») . При пространство гомеоморфно . Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: для всех k.
См. также Теорема о двойной надстройке Конус (топология) Н-когруппа
Ссылки Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян Спеньер Э. - Алгебраическая топология (1971)
Категория:Топология Категория:Теория гомотопий