Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.
При этом: семейство универсальных множеств ( множеств), лежащих в топологическом пространстве , называется локально конечным в , если у каждой точки существует окрестность в , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ; семейство множеств вписано в семейство множеств, если каждый элемент семейства содержится в некотором элементе семейства .)
Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.
Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчинённые произвольному заданному открытому покрытию.
Свойства В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности, если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем; если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху. Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт. Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть. В классе хаусдорфовых пространств Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом, Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом. К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости. Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём компактом, то оно паракомпактно. Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) . Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку , непременно образует базу в этой точке. Все компакты паракомпактны, но Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.
Связанные определения Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать точечно конечное открытое покрытие.
Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать звёздно конечное открытое покрытие.
Субпаракомпактное пространство (Fσ-просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие
Литература
Категория:Общая топология