Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие движение вязкой ньютоновской жидкостиЛандау, Лифшиц, с. 73.. Уравнения Навье — Стокса математически выражают баланс импульса для ньютоновских жидкостей и используют закон сохранения массы. Иногда их дополняют уравнением состояния, связывающим давление, температуру и плотность. Они следуют из применения второго закона Ньютона к движению жидкости при предположении, что напряжения в жидкости складываются из вязкой составляющей, пропорциональной градиенту скорости и обусловливающей диффузионный перенос, и составляющей, связанной с давлением. Таким образом, эти уравнения описывают вязкое течение. Уравнения Навье — Стокса обобщают уравнения Эйлера, учитывающие только невязкое течение. Если рассматривать эти уравнения как векторное соотношение, то часто говорят об уравнении Навье — Стокса (в единственном числе). Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса. Впервые уравнения Навье — Стокса были получены Навье (1822, несжимаемая жидкость) и Пуассоном (1829, сжимаемая жидкость), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнений был дан Сен-Венаном и Стоксом.
Уравнения Навье — Стокса представляют большой интерес для науки и техники, поскольку позволяют моделировать широкий круг явлений. В полной или упрощённой форме они применяются при проектировании самолётов и автомобилей, исследовании кровотока, проектировании электростанций, анализе загрязнения окружающей среды и решении многих других задач. Вместе с уравнениями Максвелла они составляют основу магнитной гидродинамики.
Уравнения Навье — Стокса также представляют большой интерес для чистой математики. Проблема существования и гладкости решений уравнений Навье — Стокса состоит в выяснении того, существуют ли в трёхмерном евклидовом пространстве гладкие, то есть бесконечно дифференцируемые, или ограниченные решения либо возможна потеря регулярности с появлением неограниченных решений. Это одна из семи задач тысячелетия — известных нерешённых математических проблем, за правильное решение каждой из которых Математический институт Клэя в 2000 году предложил премию в размере 1 млн долларов США. 8 сентября 2026 года компания OpenAI, работающая в области искусственного интеллекта, объявила о построении неограниченного контрпримера к утверждению о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. Это утверждение не было проверено независимыми математиками.
Скорость течения Решением уравнений является . Это векторное поле, которое каждой точке текучей среды в каждый момент рассматриваемого временного интервала сопоставляет вектор, направление и величина которого совпадают с направлением и величиной скорости среды в данной точке пространства и в данный момент времени. Обычно рассматривают три пространственных измерения и одно временное, однако многомерные аналоги также исследуют как в чистой, так и в прикладной математике. После вычисления поля скорости другие интересующие величины, например давление или температура, определяются с помощью динамических уравнений и дополнительных соотношений. Такой подход отличается от обычного описания в классической механике, где решения, как правило, задают траектории частиц или перемещения сплошной среды. Для жидкости удобнее исследовать скорость, чем положение, хотя для визуализации можно вычислять различные линии и траектории течения. В частности, линии тока векторного поля, интерпретируемого как поле скорости течения, представляют собой пути, вдоль которых двигалась бы безмассовая частица жидкости. Эти линии являются интегральными кривыми, производная которых в каждой точке совпадает с векторным полем. Они позволяют наглядно представить поведение поля в фиксированный момент времени.
Общие уравнения механики сплошных сред
Уравнение баланса импульса Навье — Стокса можно получить как частный случай уравнения движения Коши, общая конвективная форма которого имеет вид:
Представляя тензор напряжений Коши в виде суммы вязкой составляющей — девиатора напряжений — и составляющей давления , соответствующей объёмным напряжениям, получаем:
Уравнение движения Коши в конвективной форме
Здесь — субстанциональная производная, определяемая как ; — массовая плотность; — скорость течения; — дивергенция; — давление; — время; — девиаторный тензор напряжений второго ранга; — ускорение, обусловленное действующими на сплошную среду массовыми силами, например гравитационными, силами инерции, электростатическими силами и так далее. Из этой записи видно, что в предположении невязкой жидкости, когда девиаторные напряжения отсутствуют, уравнения Коши переходят в уравнения Эйлера.
Предполагая выполнение закона сохранения массы и используя свойства дивергенции и градиента, можно воспользоваться уравнением неразрывности, описывающим пространственно-временное изменение массы единицы объёма однородной жидкости, то есть субстанциональную производную , для произвольного конечного объёма :
Здесь — субстанциональная производная массы единицы объёма, то есть плотности ; — операция интегрирования по объёму ; — оператор частного дифференцирования; — дивергенция скорости течения , представляющая собой скалярное поле;Имеется в виду математический оператор, обозначаемый символом набла (). — градиент плотности , то есть векторная производная скалярного поля. Это позволяет получить консервативную форму уравнений движения, которую часто записывают следующим образом:
Здесь обозначает внешнее произведение вектора скорости течения :
Левая часть уравнения описывает ускорение и может включать локальную и конвективную составляющие, а при использовании неинерциальных координат — также соответствующие дополнительные слагаемые. Правая часть представляет собой сумму гидростатической составляющей, дивергенции девиаторных напряжений и массовых сил, например силы тяжести.
Все нерелятивистские уравнения баланса, включая уравнения Навье — Стокса, можно вывести из уравнений Коши, задав тензор напряжений посредством определяющего соотношения. Если выразить девиаторный тензор напряжений через вязкость и градиент скорости жидкости и предположить постоянство вязкости, приведённые выше уравнения Коши переходят в уравнения Навье — Стокса, рассматриваемые далее.
Конвективное ускорение
Важной особенностью уравнения Коши и, следовательно, других уравнений механики сплошных сред, включая уравнения Эйлера и Навье — Стокса, является наличие конвективного ускорения — ускорения, обусловленного пространственным изменением скорости течения. Хотя отдельные частицы жидкости испытывают ускорение во времени, конвективная составляющая ускорения поля течения связана с пространственной неоднородностью. Примером служит ускорение жидкости в сопле (см. рис. 1).
Сжимаемое течение В этом разделе девиаторный тензор напряжений обозначается , как и в разделах «Общие уравнения механики сплошных сред» и «Несжимаемое течение».
Уравнение баланса импульса Навье — Стокса для сжимаемой среды получается при следующих предположениях о тензоре напряжений Коши:
Напряжения инвариантны относительно преобразований Галилея: они не зависят непосредственно от скорости течения, а зависят только от её пространственных производных. Поэтому аргументом определяющего соотношения служит тензор градиента скорости или, точнее, тензор скоростей деформации: . Девиаторные напряжения линейно зависят от этой величины: , где не зависит от тензора скоростей деформации, — тензор коэффициентов пропорциональности четвёртого ранга, называемый тензором вязкости или тензором упругости, а двоеточие обозначает двойную свёртку. Среда предполагается изотропной, как газы и простые жидкости, поэтому является изотропным тензором. Кроме того, вследствие симметрии девиаторного тензора напряжений его, согласно разложению Гельмгольца, можно выразить через два скалярных параметра Ламе — коэффициент второй вязкости и динамическую вязкость , как обычно делают в линейной теории упругости:
Линейное определяющее соотношение для напряжений — форма, аналогичная соотношению для упругого твёрдого тела
Здесь — единичный тензор, а — след тензора скоростей деформации. В явной форме:
В трёхмерном случае след тензора скоростей деформации равен дивергенции скорости, то есть скорости относительного объёмного расширения:
С учётом этого соотношения и того, что след единичного тензора в трёх измерениях равен трём,
след тензора напряжений принимает вид:
Поэтому тензор напряжений можно разложить на изотропную и девиаторную части, как обычно делают в гидродинамике:
Вводя объёмную вязкость ,
получаем линейное определяющее соотношение в форме, обычно используемой в теплогидравлике:
Линейное определяющее соотношение для напряжений — форма, используемая для текучих сред
Его также можно записать в другой распространённой форме:Bird, Stewart, Lightfoot, Transport Phenomena, 1st ed., 1960, eq. (3.2-11a).
В сжимаемом случае давление уже не пропорционально одной лишь изотропной составляющей напряжений, поскольку появляется дополнительное слагаемое, связанное с объёмной вязкостью:
Девиаторный тензор напряжений по-прежнему совпадает с тензором сдвиговых напряжений , то есть девиаторные напряжения в ньютоновской жидкости не имеют нормальных составляющих. По сравнению с несжимаемым случаем он содержит дополнительное слагаемое, связанное со сжимаемостью и пропорциональное сдвиговой вязкости:
Объёмная вязкость и динамическая вязкость не обязаны быть постоянными. В общем случае однокомпонентной среды они зависят от двух термодинамических переменных, например давления и температуры. Любое уравнение, явно выражающее один из этих коэффициентов переноса через консервативные переменные, называется уравнением состояния.
Наиболее общая форма уравнения Навье — Стокса имеет вид в конвективной форме:
В индексных обозначениях это уравнение записывается следующим образом:Landau, Lev Davidovich, and Evgenii Mikhailovich Lifshitz. Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6. Vol. 6. Elsevier, 2013.
Соответствующую консервативную форму можно получить, учитывая, что при выполнении уравнения неразрывности левая часть эквивалентна выражению
В результате получаем уравнение баланса импульса Навье — Стокса в консервативной форме
Помимо зависимости от давления и температуры, коэффициент второй вязкости зависит от характера процесса, то есть не является исключительно свойством материала. Например, при распространении звуковой волны заданной частоты, попеременно сжимающей и расширяющей элемент жидкости, коэффициент второй вязкости зависит от частоты волны. Такая зависимость называется дисперсией. В некоторых случаях вторую вязкость можно считать постоянной. Тогда её влияние проявляется в различии между механическим и термодинамическим давлением:
Обычно этим различием пренебрегают, явно полагая , за исключением процессов, в которых вторая вязкость существенна, например поглощения звука и затухания ударных волн. Предположение называется гипотезой Стокса.Stokes, G. G. (1845). On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids. Для одноатомного газа справедливость гипотезы Стокса подтверждается экспериментально и следует из кинетической теории;Vincenti, W. G., Kruger Jr., C. H. (1975). Introduction to physical gas dynamic. Introduction to physical gas dynamics/Huntington. для других газов и жидкостей она в общем случае неверна. При гипотезе Стокса уравнение Навье — Стокса принимает вид уравнени баланса импульса в конвективной форме
Если динамическая и объёмная вязкости однородны в пространстве, конвективную форму можно дополнительно упростить. Дивергенция тензора равна , а дивергенция тензора равна . Вычисляя дивергенцию тензора напряжений, получаем уравнение баланса импульса для сжимаемой среды при пространственно однородных сдвиговой и объёмной вязкостях в конвективной форме: