Зако́н Берну́лли (также уравне́ние Берну́лли, теоре́ма Берну́лли или интегра́л Берну́лли) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности).
История Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли. Иоганн Бернулли опубликовал «Гидравлику» в 1743 году, однако уравнение в современной простой форме впервые записал Эйлер, выведя его как интеграл общих уравнений гидродинамики; в 1757 году он также рассмотрел некоторые случаи течений сжимаемой жидкости.
Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости
Для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
Здесь — плотность жидкости; — скорость потока; — высота; — давление; — ускорение свободного падения.
Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением. Могут также использоваться термины «весовое давление» , «статическое давление» и «динамическое давление» . По словам Д. В. Сивухина, нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.
Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии).
Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где — высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия, — скорость истечения жидкости, — атмосферное давление. Отсюда: . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде.
Другие проявления и применения закона Бернулли
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука.
Вдоль горизонтальной трубы координата постоянна и уравнение Бернулли принимает вид . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса.
Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»).
Применение в гидравлике
Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» :
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
— гидравлическая высота или напор, — нивелирная высота, — пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор, — скоростная высота или скоростной напор.
Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора».
Интеграл Бернулли в баротропных течениях
Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: , что позволяет ввести функцию давления В этих предположениях величина
постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом заменяется на потенциал массовой силы .
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости , интеграл Бернулли в виде сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения.
Формула Сен-Венана — Ванцеля Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон
то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь): вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме, — давление и плотность газа, — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.
С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за тогда скорость истечения выражается через внешнее давление по формуле Сен-Венана — Ванцеля:
Термодинамика закона Бернулли
Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого гладкого стационарного течения идеальной жидкости
где — энтальпия единицы массы, — гравитационный потенциал (равный для однородной силы тяжести), — энтропия единицы массы.
Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии (). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости.
Обобщения интеграла Бернулли Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений), в магнитной гидродинамике, феррогидродинамике. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии.
Комментарии
Примечания
Литература
Ссылки Русский перевод трактата Даниила Бернулли, в котором впервые появляется интеграл (закон) Бернулли
Бернулли Категория:Гидравлика Категория:Гидроаэромеханика Бернулли