Мера Синая — Рюэлля — Боуэна (SRB-мера) — мера на фазовом пространстве динамической системы, к которой стремится распределение траекторий типичных начальных (в смысле меры Лебега) точек (возможно, из какой-либо области). При этом множество точек, для которых происходит такое стремление, называется бассейном притяжения этой меры.
Понятие названо в честь Якова Синая, Давида Рюэлля и , в работах которых оно было введено.
Более точно, имеется два неэквивалентных понятия: определение меры Синая — Рюэля — Боуэна, связанное с итерациями типичных точек («наблюдаемая мера»), и его модификация, связанная с итерациями абсолютно непрерывных мер («естественная мера»).
Мера называется (наблюдаемой) мерой Синая — Рюэля — Боуэна, если для множества начальных точек положительной меры Лебега распределение орбит сходится к :
В этом случае множество точек , удовлетворяющих этому условию, называется бассейном притяжения меры .
Эквивалентным образом это определение может быть сформулировано в терминах временных средних: если для некоторого множества положительной меры Лебега временные средние любой непрерывной функции на сходятся почти всюду к её интегралу по мере : . В этом случае бассейном притяжения называется максимальное множество , для которого выполнено условие сходимости.
В случае естественной меры рассматриваются итерации не атомарной начальной меры (или, что то же самое, распределение индивидуальной орбиты), а усреднение абсолютно непрерывных начальных мер: мера называется (естественной) мерой Синая — Рюэля — Боуэна, если для некоторого множества положительной меры Лебега для любой абсолютно непрерывной начальной меры m её временные средние сходятся почти всюду мере : . Бассейн притяжения в этом случае — максимальное измеримое множество , для которого выполнено условие сходимости.
Литература Я. Г.Синай, Гиббсовские меры в эргодической теории, Успехи Математических Наук, 27:4 (1972), 21--69. R. Bowen. Equilibrium states and ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math. 470 (1975). D. Ruelle. A measure associated with Axiom A attractors. Amer. J. Math., 98 (1976), pp. 619--654. L.-S. Young. What are SRB measures, and which dynamical systems have them? J. Statist. Phys., 108 (2002), pp. 733–754. M. Blank, L. Bunimovich. Multicomponent dynamical systems: SRB measures and phase transitions. Nonlinearity, 16 (2003), pp. 387--401.
Категория:Динамические системы