В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

или более сложный пример

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда рационально:

Например,

В частности, для комплексных чисел ():

где

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

.

Очевидно, что не может являться значением исходного радикала.

Тривиальные случаи Для квадратного корня: ; Для корня степени

где является решением уравнения .

Нетривиальные случаи Формула Рамануджана:

Частные случаи Золотое сечение:

Пластическое число:

Число Пи:

Ссылки

Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.) Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)

Категория:Алгебра