Тензорное расслоение типа на дифференцируемом многообразии — векторное расслоение над , ассоциированное с расслоением касательных реперов и имеющее в качестве стандартного слоя пространство тензоров типа на , в котором группа действует при помощи тензорного представления. Например, совпадает с касательным расслоением над , a — с кокасательным расслоением .
В общем случае тензорное расслоение изоморфно тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений:
Сами расслоения являются лишь основой для построения сечений тензорных расслоений типа , которые называются тензорными полями типа и являются основным объектом исследования дифференциальной геометрии. Так, например, риманова структура на — это гладкое сечение расслоения , значения которого являются положительно определёнными симметрическими формами.
Гладкие сечения расслоения образуют модуль над алгеброй гладких функций на . Если — паракомпактное многообразие, то
где — модуль гладких векторных полей, — модуль пфаффовых дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся над .
В классической дифференциальной геометрии тензорные поля иногда называют просто тензорами на .
Литература . .
Категория:Расслоения