Атома́рная фу́нкция — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида
где — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты , причём .
Атомарная функция up(x) Простейшая атомарная функция (читается: «ап от ») является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения
с носителем которое удовлетворяет условию нормировки (доказано, что при указанной нормировке это решение существует и единственно).
Преобразование Фурье функции имеет вид
где — sinc-функция.
Функция — чётная, возрастает на интервале , убывает на интервале а её график ограничивает над осью абсцисс единичную площадь. Кроме того, при . Таким образом, целочисленные сдвиги образуют разбиение единицы:
Значения в двоично-рациональных точках вида — рациональные числа. Функция неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для её вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, однако существуют быстросходящиеся ряды специального вида, приспособленные для таких вычислений. Используются также разложения в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.
Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий можно представить алгебраический многочлен любой степени.
Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны Атомарные функции (при ) являются обобщением функции . Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид
Таким образом, Преобразование Фурье функции имеет вид
следовательно, функции есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением
Обобщённая теорема Котельникова Нули преобразований Фурье функций расположены регулярным образом в точках . В связи с этим любую непрерывную функцию с финитным спектром можно разложить в ряд
где .
Данная формула обобщает известную теорему Котельникова; впервые она была предложена В. Ф. Кравченко и В. А. Рвачёвым, а в дальнейшем развита Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом.
История и развитие Атомарные функции впервые были введены в работе 1971 года. Обстоятельства появления функции связаны с проблемой, поставленной в 1967 году В. Л. Рвачёвым и решённой В. А. Рвачёвым: найти такую финитную дифференцируемую функцию, что её график имел бы вид «горба» с одним участком возрастания и одним участком убывания, а график её производной состоял бы из «горба» и «ямы», причём последние были бы подобны «горбу» самой функции, т. e. представляли бы собой — с точностью до масштабного коэффициента — сдвинутую и сжатую копию графика исходной функции.
Итоги начального этапа развития теории атомарных функций представлены в работе В. А. Рвачёва «Атомарные функции и их применение». В ней дан подробный обзор работ по теории атомарных функций, доведённый до 1984 года, приведён список нерешённых задач теории атомарных функций, во многом определивший направления дальнейших исследований.
В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школыКравченко В. Ф., Чуриков Д. В. Цифровая обработка сигналов атомарными функциями и вейвлетами. — М.: Техносфера, 2019. Дополнительный тираж. 182 с. ISBN 978-5-94836-506-0.Кравченко В. Ф., Кравченко О. В. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники. — М.: Техносфера, 2018. 696 с. ISBN 978-5-94836-518-3..
См. также Функция sinc(x) Окно (весовая функция) B-сплайн Теорема Котельникова
Примечания
Литература
— С. 103—260.
Категория:Функции Категория:Численные методы Категория:Теория приближений Категория:Цифровая обработка сигналов