Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
Определение Если на множестве задана функция, которая отображает множество в другое множество, то множество называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция , которая отображает множество в , то есть: , то множество называется областью определения или областью задания функции и обозначается или (от — «власть»).
Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве некоторого множества . В этом случае множество называется областью отправления функции .
Примеры Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам: вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ; а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида , где и — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение Область определения функции совпадает с областью отправления ( или ).
Гармоническая функция Область определения функции представляет собой комплексную плоскость без нуля: , поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.
Дробно-рациональные функции Область определения функции вида
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения . Эти точки называются полюсами функции .
Так, функция определена во всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где . Таким образом является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.
Мера Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал Пусть — семейство отображений из множества в множество . Тогда можно определить отображение вида . Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию , которая принимает в «точке» то же значение, что и сама функция в точке .
См. также Область значений функции
Примечания
Литература Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995. Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
Категория:Общие понятия о функциях