Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера при , известное тождество, связывающее три фундаментальные математические константы:

где  — число е, или основание натурального логарифма,  — мнимая единица,  — пи, отношение длины окружности к её диаметру.

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда Эйлера. Тождество считается образцом математической красоты, поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

для любого вещественного . (Заметим, что аргументы тригонометрических функций и взяты в радианах). В частности

А из того, что

и

следует

что даёт тождество:

Обобщения Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества: сумма корней из единицы -ой степени при равна :

Тождество Эйлера — это случай, когда .

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть } — базисные элементы; тогда

В общем случае, если даны вещественные , , и такие, что , то

Для октонионов, с вещественным таким, что , и с базисными элементами октонионов },

Математическая красота Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа и относятся к арифметике, мнимая единица  — к алгебре, число  — к геометрии, а число e — к математическому анализу), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты.

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов. Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математикаДербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.. Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной»Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster, Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press .. Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике». Профессор математики Стэнфордского университета в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования»Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler’s Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press .. Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье, описывает тождество Эйлера как «изысканную красоту». По мнению популяризатора математики Констанс Рид, это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике»Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America.

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике»Wells, David (1990), «Are these the most beautiful?», The Mathematical Intelligencer, 12: 37-41, doi:10.1007/BF03024015. В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла) было названо «величайшим уравнением в истории»Crease, Robert P. (10 May 2004), «The greatest equations ever», Physics World.

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора, реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулыZeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150.

История Формула Эйлера, из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» () в 1722 году.

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года во время его работы в Петербургской академии наук и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» () (1748).

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли.

По мнению :

В культуре Тождеству Эйлера посвящён фильм Такаси Коидзуми «».

Примечания

Категория:Комплексный анализ Категория:Тождества Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера