Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (модель Ло́тки — Вольтерра́П. В. Турчин. Лекция № 14. Популяционная динамика ) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь своих авторов, американского математика Альфреда Лотки и итальянского физика Вито Вольтерры, которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.
Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя биологическими видамиОдум, 1986.
В математической форме предложенная система имеет следующий вид: , , где — количество жертв, — количество хищников, — время, — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.
Решение системы уравнений
Постановка задачи Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники. Предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учёта хищников) принимает вид: , где — коэффициент рождаемости жертв, — величина популяции жертв, — скорость прироста популяции жертв.
Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта численности жертв) принимает вид: , где — коэффициент убыли хищников, — величина популяции хищников, — скорость прироста популяции хищников.
При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине ) происходит убийство жертв с коэффициентом , сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом . С учётом этого, система уравнений модели такова: .
Решение задачи
Нахождение положения равновесия системы Для положения равновесия изменение численностей популяции равно нулю. Следовательно: , , из чего следует, что точка равновесия, вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом: , .
Малые колебания в системе Рассмотрим поведение малых отклонений численностей от их равновесных значений, то есть изменение во времени и . Из-за их малой абсолютной величины, квадратами, кубами и последующими степенями ( и ) можно пренебречь. Подставляя , , в уравнения модели, получаем приближенно:
Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат: , .
Полученное выражение является дифференциальным уравнением гармонического осциллятора с периодом .
Конечные колебания в системе Функция
постоянна на решениях системы. Действительно:
Функция является суммой двух функций одного переменного: , где
При функция неограниченна и имеет один глобальный минимум при , в то время как при функция также неограниченна и имеет один глобальный минимум при , где и равновесные численности. Следовательно, функция имеет единственный глобальный минимум в точке , являющейся положением равновесия, а все неравновесные линии уровня при замкнуты и отвечают периодическим колебаниям с периодим, который зависит от начальных численностей.
См. также Моделирование биологических систем Закон Клайбера
Примечания
Ссылки Популяционная динамика Простейшая модель «хищник-жертва» Николя Бакаэр, В. А. Вольперт, Д. M. Эдиев: Краткая история математической динамики населения. 2021. ISBN 979-10-343-8016-9. Pdf. Вольтерра, Вито (1976). Математическая теория борьбы за существование / пер. с фр. О. Н. Бондаренко ; под ред. и с послесл. Ю. М. Свирежева. - М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.
Категория:Нелинейная динамика Категория:Биофизика Категория:Трофическая экология Категория:Система «хищник — жертва»